Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 23 из 23)

Але за умовою

,

звідки

. Так як і точка і точка лежать на прямій , то з цього випливає, що точки та збігаються.

Теорема Чеви доведена.

Доведення теореми Менелая

Необхідність. Відомо,що точки

і лежать на одній прямій.Необхідно довести рівності (4.6) та (4. ).

Якщо точки

і лежать на одній прямій, то або усі вони знаходяться на продовженнях і сторін трикутника , або ж дві з точок знаходяться на відповідних ним сторонах, а третя – на продовженні.

В обох випадках вираження

буде від’ємним. Доведемо тепер, що якщо точки – на одній прямій, то (оскільки <0, з цього буде випливати, що ).

Проведемо через точку

пряму, паралельну , і позначимо точку її перетину з прямою через (див. рис. 4.5).

Рис. 4.5

Використовуючи подібність, одержимо

Додавши рівність

і перемноживши всі три рівності, одержимо, що . Необхідність умов теореми Менелая доведена.

Достатність. Доведення достатності умов (4.6) і (4.

) теореми Менелая проводиться аналогічно доведенню достатності умов (4.5) і (4. ) теореми Чеви.

Теорема доведена.

ВИСНОВКИ

Розв’язок задач складає суттєву сторону процесу навчання математиці: рівень математичної підготовки в більшості визначається глибиною навиків у розв’язанні задач.

Ці обставини спонукають з особливою увагою відноситись до організації в середніх школах, гімназіях та ліцеях ретельно продуманих занять, які мають за мету надати учням не тільки теоретичні знання в області геометрії, але й навчити їх вільно застосовувати здобуті знання до розв’язання нестандартних задач середньої та підвищенної складності.

Останнім часом у варіантах вступних іспитів все частіше зустрічаються задачі, розв’язок яких суттєво спрощується за допомогою теорем Чеви та Менелая.

Дипломна робота присвячена вивченню теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведенню нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язанню задач за допомогою цих теорем.

Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших) та розв’язанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. В роботі наведено багато задач, розв’язаних двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая, при цьому останній спосіб розв’язання задач виявляється більш раціональним (розв’язок задачі займає всього кілька рядків). Зазначимо, що при розв’язку задач найскладнішою справою є пошук трикутника, до якого слід застосувати теорему Менелая.

Теореми Чеви використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці.

В роботі також розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі.

Наведені в дипломній роботі задачі (розв’язано 50 задач) можуть бути використані при позакласній роботі з учнями (на заняттях гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. 1 часть. Планиметрия. – М.: Сантакс-Пресс, 1997. – 304 с.

2. Буник І. Теорема Менелая // Математика. – №15(315), квітень, 2005. – с.17-21.

3. Габович И. Теорема Менелая для тетраэдра // КВАНТ, №6, 1996, с. 34-36.

4. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна – решения разные.–К.: Рад. шк.–1988.–173с.

5. Егоров А. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 2004, с.35-38.

6. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М., – 1962. – С. 151.

7. Карп А.П. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.

8. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978. – 223 с.

9. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // КВАНТ, №7,1992.–с.46-50

10. Орач Б. Теорема Менелая // КВАНТ, №3, 1991, с. 52-55.

11. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.1. – М.: Наука, 1986. – 272 с.

12. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч.2. – М.: Наука, 1991. – 240 с.

13. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии.–М.: Наука, 1989. – 288 с.

14. Скопец З.А., Жаров В.А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия). – М., 1962. – 162 с.

15. Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. – Ярославль, 1974. – 239 с.

16. Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. Пер. с польск. Ю.А. Данилова под ред. В.М. Алексеева. – М.: Мир, 1978. – 338 с.

17. Шарыгин И. Ф. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №11, 1976.

18. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука, 1986.

19. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы планиметрии. – М.: Наука, 1967.

20. Эрдниев Б., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // КВАНТ, №3, 1990, с. 56-59.