Оскільки точки

лежать на колі, побудованому на відрізку

як на діаметрі, то

. Опустимо з точки

перпендикуляр

на пряму

. Оскільки

, то

, тобто пряма

симетрична прямій

відносно бісектриси кута

.
Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри

, які опущені з вершин трикутника

на сторони трикутника

симетричні прямим

відносно бісектрис трикутника

. Згідно з задачею 3.9 прямі

перетинають в одній точці.
Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах

трикутника

взято точки

, так що прямі

перетинаються в одній точці. Довести, що

.
Доведення.
Нехай прямі

перетинають пряму, яка проходить через точку

паралельно прямій

, в точках

і

.

Оскільки трикутник

подібний до трикутника

, трикутник

подібний до трикутника

за першою ознакою подібності трикутників, то

;

. Додавши ці рівності і, враховуючи, що

, одержуємо:

.
Далі, трикутник

подібний до трикутника

і трикутник

подібний до трикутника

.
Тому

;

.
Звідси випливає, що

. З цієї рівності і рівності

безпосередньо випливає, що

.
Задача 3.19 Задано трикутник

. Довести, що чевіани

, які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай довжини сторін

відповідно

, тоді число

згідно з нерівністю трикутника додатнє і менше

.
Нехай точка

лежить на стороні

і така, що

. Зрозуміло, що пряма

ділить периметр трикутника

навпіл, аналогічно з точками

і

(можна помітити, що

– точки дотику вневписаних кіл трикутника

).
Переконавшись в існуванні потрібних точок, розв’яжемо основну задачу.
Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків.

,

,

,

,

,

.
Зрозуміло, що

, отже чевіани

перетинаються в одній точці.
РОЗДІЛ 4
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ НА ПЛОЩИНІ
Означення. Під кутом

між двома векторами

і

будемо розуміти кут, на який необхідно повернути вектор

у додатньому напрямку (проти ходу годинної стрілки) до збігу з напрямком вектора

(див. рис. 4.1).

Рис. 4.1 До визначення кута між двома векторами
Нехай для визначеності, що

. З означення і властивостей функції

випливає, що

.
Розглянемо два трикутники:

(позначимо його через

) і

, вершини

і

якого лежать на прямих

і

відповідно; позначимо трикутник

через

. Зрозуміло, що вектори

і

коллінеарні; також коллінеарні й вектори

. Введемо для коллінеарних векторів

і

величину

, яка дорівнює відношенню довжин векторів

і

, взятому зі знаком “+” , якщо вектори

і

співнаправлені, і зі знаком “–“ у супротивному випадку.