Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 21 из 23)

Оскільки точки

лежать на колі, побудованому на відрізку як на діаметрі, то . Опустимо з точки перпендикуляр на пряму . Оскільки , то , тобто пряма симетрична прямій відносно бісектриси кута .

Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри

, які опущені з вершин трикутника на сторони трикутника симетричні прямим відносно бісектрис трикутника . Згідно з задачею 3.9 прямі перетинають в одній точці.

Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах

трикутника взято точки , так що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що

.

Доведення.

Нехай прямі

перетинають пряму, яка проходить через точку паралельно прямій , в точках і .

Оскільки трикутник

подібний до трикутника , трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників, то ; . Додавши ці рівності і, враховуючи, що , одержуємо:

.

Далі, трикутник

подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника .

Тому

; .

Звідси випливає, що

. З цієї рівності і рівності безпосередньо випливає, що

.

Задача 3.19 Задано трикутник

. Довести, що чевіани , які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай довжини сторін

відповідно , тоді число згідно з нерівністю трикутника додатнє і менше .

Нехай точка

лежить на стороні і така, що . Зрозуміло, що пряма ділить периметр трикутника навпіл, аналогічно з точками і (можна помітити, що – точки дотику вневписаних кіл трикутника ).

Переконавшись в існуванні потрібних точок, розв’яжемо основну задачу.

Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків.

, , ,

, , .

Зрозуміло, що

, отже чевіани перетинаються в одній точці.

РОЗДІЛ 4

ТЕОРЕМИ ЧЕВИ ТА МЕНЕЛАЯ НА ПЛОЩИНІ

Означення. Під кутом

між двома векторами і будемо розуміти кут, на який необхідно повернути вектор у додатньому напрямку (проти ходу годинної стрілки) до збігу з напрямком вектора (див. рис. 4.1).

Рис. 4.1 До визначення кута між двома векторами

Нехай для визначеності, що

. З означення і властивостей функції випливає, що

.

Розглянемо два трикутники:

(позначимо його через ) і , вершини і якого лежать на прямих і відповідно; позначимо трикутник через . Зрозуміло, що вектори і коллінеарні; також коллінеарні й вектори . Введемо для коллінеарних векторів і величину , яка дорівнює відношенню довжин векторів і , взятому зі знаком “+” , якщо вектори і співнаправлені, і зі знаком “–“ у супротивному випадку.