Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 18 из 23)

Довести, що

, де – площа трикутника .

Як належить обрати точку

, щоб площа трикутника була найбільшою?

Розв’язок.

Позначимо площі трикутників

, через .

Так як площі двох трикутників, які мають спільний кут, відносяться як добуток сторін, що утворюють цей кут, то

.

Аналогічно

, .

Далі знаходимо

.

Підставив в цю рівність знайдені вище значення та прийняв до уваги, що в силу теореми Чеви

, одержуємо:

.

Площа трикутника

буде найбільшою при мінімальному значенні . Проведемо оцінку цього добутку.

Скористаємося нерівністю нерівність

:

,

при цьому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли

.

Отже, шукана точка

– точка перетину медіан трикутника , для якої .

Задача 3.4. Знайти в трикутнику таку точку

, щоб добуток мав найбільшу величину ( – точки перетину прямих зі сторонами ).

Розв’язок.

Проведемо медіани

трикутника , які перетинаються в точці . Оскільки середнє геометричне двох величин не більше їх середнього арифметичного, то

, , .

Піднесемо кожну нерівність до квадрата та перемножимо:

Згідно з теоремою Чеви маємо

.

Отже,

.

Нерівність перетворюється в рівність у випадку збігу основ прямих Чеви з серединами відповідних сторін, отже, в цьому випадку добуток

має найбільшу величину , де – сторони трикутника.Отже, шуканою точкою є точка перетину медіан трикутника.

Задача 3.5. Прямі

перетинають сторони трикутника (або їхні продовження) у точках . Довести, що:

а) прямі, що проходять через середини сторін

паралельно прямим , перетинаються в одній точці;

б) прямі, що з'єднують середини сторін

із серединами відрізків , перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай

– середини сторін . Розглянуті прямі проходять через вершини трикутника , при цьому в задачі а) вони ділять його сторони в таких же відношеннях, у яких прямі ділять сторони трикутника , а в задачі б) – вони ділять їх у зворотних відношеннях. Залишається скористатись теоремою Чеви.

Задача 3.6. На сторонах

трикутника взяті точки так, що відрізки перетинаються в одній точці. Прямі і перетинають пряму, що проходить через вершину паралельно стороні , в точках і відповідно. Довести, що .

Доведення.

Оскільки

і , то

Тому

Задача 3.7. а) Нехай

– довільні кути, при цьому сума будь-яких двох з них менше 180. На сторонах трикутника зовнішнім чином побудовані трикутники , що мають при вершинах кути . Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

б) довести аналогічне твердження для трикутників, побудованих на сторонах трикутника

внутрішнім чином.

Доведення.

Нехай прямі

перетинають прямі в точках .

Якщо

і , то

Останній вираз дорівнює

у всіх випадках.

Аналогічно записуються вирази для

і . Перемножуємо всі вирази і залишається скористатися теоремою Чеви.

Задача 3.8. Прямі

перетинають прямі в точках відповідно. Точки обрані на прямих так, що