Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 12 из 23)

З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини

до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо

Отже,

.

Відповідь: 3.

Задача 2.3 В піраміді

проведений переріз так, що точка лежить на ребрі точка – на ребрі , точка – на ребрі , точка – на ребрі . Відомо, що , .

Знайти відношення об’ємів частин, на якіплощина

поділяє піраміду.

Рис 2.5 До задачі 2.3

Розв’язок.

З умови задачі безпосередньо випливає, що

(2.3.1)

(2.3.2)

Нехай

, .

Згідно з теоремою Менелая маємо

Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо

,

звідки

(2.3.3)

Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на

, одержуємо

або

(2.3.4)

З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему

Розв’язуємо цю систему:

і

Розбиваємо багатогранник

на три трикутні піраміди: , .

Нехай

– площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм даної піраміди, – довжина висоти піраміди , проведена з вершини . Тоді маємо

Нехай

– площа грані , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини на площину грані , – довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину грані . Тоді маємо

Знайдемо об’єм багатогранника

:

Отже,

.

Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.

Відповідь: 17:18.

Задача 2.4 Задана піраміда

, основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка зі взаємно перпендикулярними діагоналями і . Основа перпендикуляра, опущеного з вершини на основу піраміди, збігається з точкою – перетином діагоналей і . Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.

Рис. 2.6 До задачі 2.4

Розв’язок.

Нехай

– перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини , – перпендикуляр до площини . Покажемо, наприклад, що точка – ортоцентр грані . В площині грані проведемо промінь до перетину з ребром в точці . Згідно з умовою, і . Тому .

Згідно з теоремою про три перпендикуляри (

, – похила, –її проекція на ) маємо, що . Аналогічно доводиться, що . Отже, точка – ортоцентр грані .

Аналогічно доводиться, що точки

і також є ортоцентрами відповідних граней.

З'єднаємо точки

і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри . З'єднаємо точки і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри .