Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 10 из 23)

2 спосіб.

Нехай

задана трапеція з основами і . Застосуємо теорему Менелая до трикутника і трьом точкам (середина основи ), (точка перетину діагоналей і ), (точка перетину прямих і ) (див. рис. в).

, , ,

так як трикутник

подібний до трикутника . Звідси випливає, що

,

тому точки

лежать на одній прямій. Аналогічно доводиться, що середина відрізка лежить на прямій .

Задача 1.22 Через точку

перетину діагоналей чотирикутника проведена січна. Відрізок цієї січної, що замкнений між однією парою протилежних сторін чотирикутника, поділяється точкою навпіл. Довести, що відрізок січної, що замкнений між продовженнями іншої пари протилежних сторін чотирикутника поділяється точкою також навпіл.

Доведення.

Нехай січна

зустрічає сторони і чотирикутника в точках і , а продовження сторін і – в точках і . Тоді скориставшись теоремою Менелая для трикутників і , які перетинаються прямими і , одержуємо, що

і .

Тоді

.

Але за умовою

, і для чотирикутника і січної згідно з теоремою Менелая маємо

.

Отже,

або . Звідси і .

РОЗДІЛ 2

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО ТЕТРАЕДРА

Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра.

Теорема Менелая для тетраедра. У довільному тетраедрі

точки належать ребрам і відповідно (див. рис. 2.1). Для того, щоб точки належали однієї площині, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення

(2.1)

Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра

Доведення. Необхідність. Нехай чотирикутник

– перетин даного тетраедра деякою площиною . Проведемо – перпендикуляри до площи-ни . Розглянемо «фрагмент» – перетин ребра площиною (див. рис. 2.2).

Рис 2.2 До доведення теореми Менелая

Трикутники

та подібні, тому .

Трикутники

та подібні, тому

.

Трикутники

та подібні, тому

.

Трикутники

та подібні, тому

.

Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності:

.

Достатність. Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки

не лежать в одній площині. Проведемо через точки площину , що перетинає ребро в деякій точці , відмінної від . Тому ,

отже, співвідношення (2.1) для точок

виконуватися не буде. Оскільки ми прийшли до протиріччя з вихідною умовою (не виконується рівність (2.1)), то наше припущення невірне й площина пройде через точку .