Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 9 из 22)

В цій задачі ми будемо мати справу одразу з двома перетвореннями - поворотом та паралельним переносом.

Перша система сукупності має два розв’язки при будь-якому а (рис.1.2.15).

Знайдемо число розв’язків другої системи (рис.1.2.15): при

- немає розв’язків, при - один розв’язок, при - два розв’язки.

Додатково з рисунка видно, що при

, або , або а = 0 прямі и перетинаються в точках, які лежать на колі

. Зрозуміло, що цей факт змінює число розв’язків для випадку .

Рис.1.2.15

Відповідь: якщо

, або а = 0, то розв’язків два; якщо або , то розв’язків три; якщо , або , або , або , то розв’язків чотири.

Наступні дві задачі пов’язані з ще одним перетворенням - паралельним переносом.

8. Знайти всі значення а, для яких існує пара від’ємних чисел х та у, які задовольняють умові

Розв’язання. Нерівність х + 2у > а задає півплощину з "пливучою" межею х + 2у = а. Оскільки очевидно, що а < 0, то система нерівностей

задає внутрішню область трикутника ОАВ з координатами вершин О (0; 0), А (0; а), В

- рис.1.2.16.

Рис.1.2.16

Все прямі сім’ї прямих

проходять через точку М (0;

1). Очевидно початкова система має Розв’язання, якщо прямі сім’ї перетинають вісь абсцис в точках, які лежать між А та О. Для прямої

при фіксованому а абсциса точки перетину с віссю х дорівнює . Тоді залишилося вимагати, щоб . Звідси

.

Відповідь:

.

9. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

Розв’язання. Розглянемо функції

та

, які задають: сім’ю "кутів" та сім’ю прямих, які проходять через точку . Оскільки кожен з графіків функцій знаходиться у "русі", то при пошуку їх спільних точок (або умов їх відсутності) виникають ускладнення. Тому спробуємо застосувати такий метод: "зупинимо" один з рухів за допомогою заміни.

Нехай

. Тоді і початкове рівняння приймає вигляд . Всі прямі виду проходять черезточку . Оскільки положення точки М не зафіксовано, то поворот не формує сім’ю прямих. Однак сама ідея повороту є результативною.

Очевидно ордината точки М завжди від’ємна. За допомогою рис.39 легко побачити, що якщо прямі сім’ї прямих проходять між сторонами кута АМВ

, то в цьому і тільки в цьому випадку початкове рівняння має розв’язки.

Рис.1.2.17

Таким чином, кутовий коефіцієнт

прямих задовольняє вимозі . Звідси

Відповідь:

1.3 Гомотетія. Стиск до прямої

1. Знайти число розв’язків системи рівнянь (

)

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

(квадрат зі стороною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.1

Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає.

Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадку з теореми Піфагора:

.

При

система немає розв’язків, при система має 4 розв’язки. Далі зі збільшенням ( ) кожна сторона квадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв’язків).

При

квадрат вписаний в коло, маємо 4 розв’язки. При розв’язків немає. Відповідь: при розв’язків немає, при - 4 розв’язки, при - 8 розв’язків, при - 4 розв’язки, при розв’язків немає.

2. При яких дійсних значеннях

система

має 8 різних розв’язків?

Розв’язнання. Побудуємо графіки функцій

(ромб зі стороною довжиною ) та . Члени сім’ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.2

Знайдемо значення параметра

, при якому коло дотикається до ромба.

З прямокутного трикутника (зі сторонами

та 1) знайдемо , тоді з трикутника АВС , звідки .

Зі збільшенням

система буде мати 8 розв’язків (8 точок перетину кола з ромбом). А при система буде мати 4 розв’язки (4 точки перетину з ромбом). Отже, . Відповідь: