Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 6 из 22)

1. При яких

рівняння має три розв’язки?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).

Рис.1.2.1

Рівняння буде мати три розв’язки, коли пряма

перетинає параболу в двох точках і дотикається до вершини, тобто коли .

Обираємо

, так як при пряма дотикається вітки гіперболи нижче вісі абсцис.

Відповідь:

2. Розв’язати рівняння

і визначити значення , при яких воно має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).

Рис.1.2.2

Якщо

, то , звідки

Якщо

, то , звідки

Знайдемо параметр

: , звідки , тобто .

, звідки , тобто та .

Відповідь: при

; при або ; при або .

3. При яких значеннях

рівняння має одно, два, три чотири розв’язки?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (9; 0).

Рис.1.2.3

З рисунка видно, що при

рівняння має 1 розв’язок, при - 2 розв’язки, при - 3 розв’язки, при - 4 розв’язки, при - 2 розв’язки, при - 1 розв’язок.

Відповідь: при

- 1 розв’язок, при - 2 розв’язки, при - 3 розв’язки, при - 4 розв’язки, при - 2 розв’язки, при - 1 розв’язок.

4. При яких значеннях

рівняння має рівно 1 розв’язок? Знайти його.

Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння:

Побудуємо графіки функцій

та враховуючи ОДЗ.

Прямі

переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О (0; 0).

Рис.1.2.4

Рівняння можна переписати у вигляді:

, . Знайдемо .

Якщо

, то маємо 1 розв’язок: , . Значення відкидаємо згідно з ОДЗ. Для розв’язок .

Якщо

, то маємо 2 розв’язки: . Згідно з ОДЗ , тобто , звідки .

Відповідь: при

, при .

5. При яких

рівняння має розв’язки?

Розв’язання. Запишемо ОДЗ рівняння:

, звідки . Побудуємо графіки функцій та .