Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 4 из 22)

мати один Розв’язання, що рівносильне для рівняння

мати один корінь. Звідси знаходимо . Таким чином, при початкова нерівність розв’язків не має.

Далі, зсуваючи "півпараболу" ліворуч, зафіксуємо останній момент, коли графіки

та

мають дві спільні точки (положення III). Таке розташування забезпечується вимогою .

При

відрізок , де та - абсциси точок перетину графіків, буде розв’язком початкової нерівності. Розв’язав наведене вище рівняння, знаходимо , . Таким чином, якщо , то .

Коли "півпарабола" та пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку

), то розв’язком буде відрізок

, де - більший з коренів

та

(положення IV).

Відповідь: при

розв’язків не має; при ; при

, розв’язком буде відрізок , де - більший з коренів

та .

6. Скільки коренів має рівняння

в залежності від значень параметра а?

Розв’язання. Зазначимо, що вводячи функції

та , ми одержуємо одразу дві сім’ї кривих. В цьому випадку пошук спільних точок провести важко. Однак задачу можна спростити, використавши заміну . Звідси знаходимо .

Розглянемо функції

(рис.1.1.16). Серед них лише одна задає сім’ю кривих.

Рис.1.1.16

Очевидно, якщо абсциса вершини "півпараболи" більше одиниці, тобто

, то рівняння коренів не має.

Якщо

, то по рисунку видно, що графіки перетинаються, причому тільки в одній точці, оскільки функції

та

мають різний характер монотонності.

Відповідь. Якщо

, то рівняння має один корінь; якщо

, то рівняння коренів не має.

7. Знайти всі значення параметра а, при яких система рівнянь має розв’язки

Розв’язання. З першого рівняння системи знайдемо

при . Це рівняння задає сім’ю "півпарабол" (параболи

"сковзають" вершинами по вісі абсцис, причому ми розглядаємо лише праву вітку).

Ліву частину другого рівняння системи розкладемонамножники. Маємо

Тільки графіком другого рівняння є об’єднання двох прямих

и

.

З’ясуємо, при яких значеннях параметра а сім’я "півпарабол" має хоча б одну спільну точку з однією зі знайдених прямих.

Рис.1.1.17

Скористаємося рис.1.1.17. Якщо вершини "півпарабол" знаходяться праворуч від точки А, але ліворуч від точки В (точка В відповідає положенню вершини в момент дотику "півпараболи" з прямою

), то очевидно графіки спільних точок не мають.

Якщо вершина розташована в точці А, то очевидно а = −3. Випадок дотику знайдемо, вимагаючи від системи

мати один Розв’язання, тобто рівняння

повинно мати один корінь. Звідси знаходимо а =

.

Таким чином, початкова система не має розв’язків, якщо

и відповідно має розв’язки, якщо та

. Відповідь. або

.

8. Знайти найменше с,при якому система має єдиний розв’язок

Розв’язання. Перше рівняння системи зручно представити у вигляді

. Це рівняння задає сім’ю кіл постійного радіуса, рівного 1, причому центри кіл лежать на прямій

. Побудуємо графік функції (рис.1.1.18). На цьому ж рисунку показано чотири положення кола, при яких початкова система має єдиний Розв’язання.

Кожному з відмічених кіл відповідає деяке значення параметра с. Оскільки умова задачі вимагає, щоб с було найменшим, то з чотирьох кіл треба вибрати те, абсциса центра якого приймає найменше значення. Очевидно це буде коло з центром в точці О

.

Рис.1.1.18

Маємо

. З . Звідси . Тоді з . Таким чином, . Оскільки положенню центра О

відповідає , то знаходимо

Відповідь:

9. При яких а множиною розв’язків нерівності

є відрізок довжиною ?