Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 21 из 22)

Функція

спадає на кожному з проміжків та ( , а зростає на , причому - точка мінімуму, .

x	(-¥,2)	(2;4)	4	(4; +¥)
a/ (x)	-	-	0	+
a (x)	¯	¯	48

Побудуємо графік функції

.

Рис.3.5

Ті значення

, для яких відповідні горизонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будуть шуканими. З рисунка видно, що .

Відповідь:

.

6. Розв’язати рівняння

. При яких значеннях параметра добуток коренів менше найменшого кореня цього рівняння?

Розв’язання. Із заданого рівняння одразу знаходимо

, , . Розглянемо функції , , , . Побудуємо графіки цих функцій.

Рис.3.6

Необхідно знайти такі значення параметра, при яких графік

лежить нижче

. Шукані значення - це всі значення, менше , де найменший корінь рівняння . Звідси знаходимо, що . Відповідь: .

7. Визначити як розташовані корені рівняння

відносно відрізка .

Розв’язання. Запишемо

. Точки та не є коренями заданого рівняння ні при яких . Тоді .

Знайдемо похідну

або .

Точка

- точка мінімуму, - точка максимуму, , .

Функція

спадає на кожному з проміжків та зростає на . Графік функції наведено на рис.3.7.

Рис.3.7

Розташування коренів рівняння відносно проміжку

можна визначити, перетинаючи побудований графік горизонтальними прямими. Далі через позначимо менший корінь, а через - більший.

Якщо

, то ; якщо , то ;

якщо

, то ; якщо , то ;

якщо

, то ; якщо , то ;

якщо

, то ; якщо , то ;

якщо

, то рівняння коренів немає; якщо , то ;

якщо

, то .

8. При яких значеннях параметра

рівняння має рівно два корені на відрізку ?

Розв’язання. Запишемо задане рівняння в такому вигляді:

Нехай

. Оскільки за умовою , то . Далі, знаходимо

, .

Побудуємо графік функції

для . З

находимо похідну

, , .

x	(-1, )		( ; 0)
f/ (x)	-	0	+
f (x)	¯

Побудуємо графік функції

для .