Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 20 из 22)

Рис.2.21

Зазначимо, що, наприклад, пряма

(см. рисунок) перетинає кола в точках з абсцисами Тепер нескладно "прочитати" з рисунка відповідь.

Відповідь: Якщо

то якщо то або якщо то немає розв’язків.

Наприкінці, розглянемо технологію складання задач. Розглянемо задачу.

Навести на координатній площині

розв’язок системи нерівностей

Рис.2.22

На рис.2.22 наведено цей розв’язок (область зі штриховою лінією).

Тепер, замінивши у на а, за допомогою графічного образу легко скласти наступні задачі.

При яких значеннях параметра а система нерівностей

1) має розв’язок? 2) має єдиний розв’язок? 3) має тільки від’ємні розв’язки? 4) має тільки додатні розв’язки? 5) має тільки розв’язки, які задовольняють умові

;

6) має хоча б один розв’язок, якій задовольняє умові

? 7) має розв’язок, який містить відрізок ? 8) має розв’язки, які містять не більше трьох цілих чисел?

Розділ 3. Застосування похідної

В цьому параграфі наведені задачі, для розв’язання яких використовуються наглядно-графічні міркування, причому при побудові необхідного графічного образу використовується апарат похідної.

1. Скільки розв’язків в залежності від параметра

має рівняння ?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

. Маємо

, , , , звідки . Отже,

x	(-¥, - 1)	-1	(-1; - 1/Ö5)	-1/Ö5	(-1/Ö5; 1/Ö5)	1/Ö5	(1/Ö5;1)	1	(1; +¥)
a/ (x)	+	0	-	0	+	0	-	0	+
a (x)		0	¯	-16Ö5/125		-16Ö5/125	¯	0

Побудуємо графік функції

.

Рис.3.1

Якщо

або , то рівняння має 1 розв’язок (положення І та ІV); якщо (положення ІІ та ІІІ), то рівняння має 2 розв’язки; якщо , то рівняння має 3 розв’язки (між положеннями ІІ та ІІІ). Відповідь: якщо або , то 1 розв’язок; якщо , то 2 розв’язки; якщо , то 3 розв’язки.

2. При яких

рівняння має три розв’язки? Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: , . Знаходимо похідну: , звідки . Отже,

x	(-¥, 0)	(0;1)	1	(1; +¥)
a/ (x)	+	+	0	-
a (x)			-3	¯

Побудуємо графік функції

.

Рис.3.2

Ті значення

, для яких відповідні горизонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будуть шуканими. Отже, .

Відповідь:

.

3. При яких

рівняння має три розв’язки?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

. Знаходимо похідну:

, звідки , . Отже,

x	(-¥, - 2)	-2	(-2; 0)	0	(0; +¥)
a/ (x)	+	0	-	0	+
a (x)		4/e2	¯	0

Побудуємо графік функції

.

Рис.3.3

Ті значення

, для яких відповідні горизонтальні прямі перетинають побудований графік в трьох точках і будуть шуканими. Отже, .

Відповідь:

.

4. Скільки розв’язків має рівняння

на проміжку ?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

. Знаходимо похідну: . Побудуємо графік функції .

Знайдемо значення функції в граничних точках проміжку

:

, .

Рис.3.4

З рис.3.4 випливає, що при

або рівняння має 1 розв’язок; при рівняння має 2 розв’язки.

Відповідь: якщо

або , то 1 розв’язок; якщо , то 2 розв’язки.

5. При яких значеннях

всі три корені рівняння дійсні?

Розв’язання. Точка

не є коренем рівняння при ні яких значеннях . Тому запишемо , .