Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 19 из 22)
або 
Оскільки в розв’язок першої системи ні при яких значеннях параметра а не може входити відрізок
, то необхідні дослідження проведемо для другої системи. Маємо 
Позначимо
Тоді друга нерівність системи на координатній площині 
задає множину, наведену на рис.2.16 штриховою лінією.
Рис.2.16
Тепер за допомогою рисунка легко встановити, що при
в знайденій множині містяться всі точки, абсциси яких пробігають всі значення з проміжку 
Тоді 
Звідси 
Відповідь:
11. При яких значеннях параметра а система
має розв’язки?
Розв’язок. Маємо
Нерівність системи задає область, обмежену кутами АКБ и CKD (рис.2.17).
.
Рис.2.17
Тоді абсциси виділених дуг гіперболи
- розв’язки початкової системи. Знайдемо абсциси точок 
розв’язавши рівняння 
та 
Звідси для перелічених точок абсциси відповідно дорівнюють 
Залишилося записати 
або 
Відповідь: або
12. Знайти всі значення а, при яких будь-який розв’язок нерівності
по модулю, не перевищує двох.Розв’язок. Перепишемо задану нерівність в такому виді:
Графіки рівнянь
и 
розбивають координатну площину 
на чотири області. "Методом інтервалів" встановлюємо, що розв’язком початкової нерівності будуть заштриховані області (рис.2.18).
Рис.2.18
Тепер, якщо при деякому фіксованому значенні
пряма 
в перетині зі знайденою областю дає лише точки, абсциси яких задовольняють умові 
то - одне з шуканих значень параметра. Тоді очевидно, що всі а з відрізка АВ складаються 
Відповідь:
13. При яких значеннях а множина розв’язків нерівності
містить не більше чотирьох цілих значень 
?Розв’язок. Раніше встановлено, що задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
або 
За допомогою цієї сукупності наведено розв’язки початкової нерівності на рис.2.19.
Рис.2.19
Проведемо прямі
де 
Тоді значення 
для якого пряма перетинає прямі 
не більш, ніж в чотирьох точках з відміченої множини, буде шуканим. Проводячи аналіз графіка, приходимо до висновку, що в заданій задачі 
або 
або 
Відповідь:
або або 14. Розв’язати нерівність
.Розв’язок. Наступна сукупність двох систем рівносильна заданій нерівності:
або 
Далі, при об’єднанні графічних образів кожної з цих систем необхідно врахувати, що пряма
дотикається параболи 
в точці (-1;1).На рис.2.20 наведено всі розв’язки початкової нерівності.
Горизонтальні прямі, які перетинають цю множину, перетинають її по відрізку (за виключенням однієї прямої
). Очевидно абсциси всіх точок цього відрізка і будуть розв’язками заданої нерівності.
Рис.2.20
Для одержання відповіді залишилося виразити х через а в рівнянні
При 
маємо 
Відповідь: при
розв’язків не має; при 
; при 
, розв’язком буде відрізок 
, де 
- більший з коренів 
та 
.15. Розв’язати нерівність
Розв’язок. Задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
або 
Звідси 
або 
На координатній площині перша система задає множину точок першого та четвертого координатних кутів, які одночасно лежать всередині кола з центром (0; 0) і радіуса
та поза колом з центром (1; 0) і радіуса 1. Друга система - множина точок, які одночасно лежать поза першим колом, але знаходяться в другому колі. Тоді всі розв’язки початкової нерівності наведено на рис.2.21.