Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 14 из 22)
Відповідь:
.7. Знайти всі
, при яких рівносильні системи рівнянь 
та 
.Розв’язання. Розглянемо другу систему:
. Ця система має єдиний розв’язок при будь-яких ( 
). Для виконання умови рівноправності необхідно, щоб всі чотири прямі, які задаються рівняннями системи, мали спільну точку. Цю точку знайдено, розв’язавши систему 
.Підставимо знайдені значення
в перші рівняння заданих систем: 
або 
.Перша система при
має нескінчено багато розв’язків: 
.Тому системи рівнянь рівносильні при
.Відповідь:
.8. Числа
такі, що система рівнянь 
має нескінчено багато розв’язків, причому
- один із цих розв’язків. Знайти числа .Розв’язання. Перепишемо систему у вигляді:
.Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто
Так як
- один із цих розв’язків системи, то підставимо його в систему: 
Тоді
.З системи трьох рівнянь знаходимо
або 
.Відповідь:
або .9. Знайти всі значення
, при кожному з яких для будь-якого значення 
система 
мала б хоча б один розв’язок
Розв’язання. Розглянемо задану систему як систему з двома невідомими
та трьома параметрами 
Якщо 
та 
перепишемо задану систему таким чином:
З цієї системи маємо: система має розв’язки, якщо
, тобто 
та 
при будь-яких значеннях 
При
перше рівняння визначає вертикальну пряму, друге - невертикальну. Таким чином, при система має розв’язок для будь-яких Аналогічно для 
.Необхідно дослідити систему при
та 
. При даних значеннях рівняння системи задають або паралельні або співпадаючі прямі. Випадку перетину прямих відповідає рівняння: 
При
маємо 
, 
, 
, 
. При маємо 
, 
, 
, 
. Таким чином, 
. Відповідь: .10. Знайти
такі, щоб при будь-яких 
система рівнянь мала б хоча б один розв’язок: 
Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді:
. При 
задана система має єдиний розв’язок при будь-яких значеннях . Тому достатньо знайти такі , щоб система мала б розв’язок при 
.Маємо
, звідси 
.Відповідь:
Задачі для самостійної роботи
1. Визначити число розв’язків системи в залежності від значень параметра а.
Розв’язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Оскільки коефіцієнт при у в першому рівнянні не дорівнює нулю, то це рівняння задає невертикальну пряму
Друге рівняння при 
задає вертикальну пряму, яка очевидно перетинає графік першого рівняння, що рівносильне початковій системі мати єдиний розв’язок. Якщо 
, то маємо 
Прямі паралельні, якщо 