Графічні методи розвязування задач із параметрами (стр. 10 из 22)

3. Визначити, при яких

система рівнянь

має точно два розв’язки.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом

). Друге рівняння - об’єднання двох прямих: , . Побудуємо прямі та кола на графіку.

Рис.1.3.3

Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр

. З гіпотенуза , . З , тоді , . Остаточно знаходимо . Відповідь: .

4. Для кожного від’ємного числа

розв’язати нерівність .

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді

. Побудуємо графіки та . Членами сім’ї функцій є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої .

Кутовий коефіцієнт прямої

дорівнює -2. Тоді , , із : , .

Рис.1.3.4

, звідки

, .

Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа

буде проміжок . Відповідь: .

5. Скільки розв’язків в залежності від

має рівняння .

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді

. Побудуємо графіки функцій (гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та . При графіки наведені на рисунку 1.3.5

Рис.1.3.5

З рис.1.3.5 видно, що при

спільних точок графіки не мають, рівняння розв’язків немає.

При

графіки та наведені на рисунку 1.3.6.

З рис.1.3.6 видно, що при

, - 1 розв’язок;

при

- 2 точки перетину графіків (2 розв’язки);

при

- 3 точки перетину графіків (3 розв’язки);

при

- 4 точки перетину графіків (4 розв’язки).

Рис.1.3.6

Відповідь: при

, - 1 розв’язок; при - 2 розв’язки; при - 3 розв’язки; при - 4 розв’язки.

6. При яких значеннях

криві та мають тільки одну спільну точку?

Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння

або . Побудуємо графіки функцій (гомотетичні вітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та . ОДЗ рівняння: .

При

маємо 1 розв’язок.

Розглянемо випадок дотику двох графіків.

Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці

:

, звідси .

Підставляємо

в рівняння , тоді , .

Рис.1.3.7

Відповідь:

або .

7. При яких значеннях параметра

рівняння має єдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій

та .

Рис.1.3.8

Розв’яжемо рівняння на проміжку

для того, щоб знайти точку дотику функцій.

Якщо

, то , , при .