Гімназія №2
Кафедра природничо-математичних наук
Диференціальні рівняння
Курсова робота
учня 11-Б класу
Біленка Анатолія
Керівник роботи
Б.Ю. Гаузнер
2001 рік
План
| 1. Вступ | |
| 1. | Поява диференціальних рівнянь |
| 2. | Історична довідка |
| 2. Основна частина | |
| І | Рівняння показового росту |
| 1. | Швидкість прямолінійного руху |
| 2. | Радіоактивний розпад |
| 3. | Поглинання світла |
| 4. | Концентрація розчину |
| ІІ | Лінійне диференціальне рівняння першого порядку |
| 1. | Охолодження тіла |
| 2. | Найпростіші електричні ланцюги |
| 3. | Падіння тіл |
| ІІІ | Гармонічні коливання (незатухаючі) |
| 3. Висновки | |
| 4. Список використаної літератури | |
1. Вступ.
1. Поява диференціальних рівнянь.
Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.
Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння
y''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.
Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.
Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням. Наприклад, функція у = ex є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (єx)' = ex.
Функція у =cosx є розв'язком диференціального рівняння у" + у == 0.
Справді, для функції у =cosx, маємо:
у" = -cosx. Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cosx +cosx = 0.
Аналогічно можна переконатися, що функція у =Asinx +Вcosx, де А і В — довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.
Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих.
Задача. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x3.
Розв‘язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F, похідною якої є функція f (x) = 4x3 , тобто треба знайти первісну функції y=4x3. Крім того , відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2).
Множина первісних всіх функцій для функції y=4x3має вигляд F(x) = x4+С, де С – довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2), враховується, що коли x=1, значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F(x) = x4+С замість xчисло1, а замість F(x) – число 2, дістанемо 2 = 1 + С, звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F(x) = x4+1 – шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2).
Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі.
Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.
Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.
Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у =Asinx +Вcosx є загальним, а розв'язок у=cosx - окремим.
На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.
Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається, задачею Коші.
Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння
уy'+2х=0.(1)
яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді
х2 +у2 =а2(2)
Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 32 + 42 = a2, звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих початкових умов є функція у, задана рівнянням х2 + у2 =25.
Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1).
Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.
Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива
х2 + у2 = 25, а загальним розв'язкомx2 +y2 =а2.
У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x2+ у2 = 25.
Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомогою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.
2. Історична довідка.
У кінці XVII — на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.
Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646—1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у багатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобом для кількісного вираження цих законів.
Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.
У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.
Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, розв'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.
У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.
2. Основна частина.
I. Рівняння показового росту
Розглянемо диференціальне рівняння вигляду
y’(x) = ky(x)(3)
де k– постійна, а y(x) – шукана функція.