v'(х) =р (х), отримаємо справедливу рівність (y (x) ev(x)) ’=0. Отже,
y(х) еv(x)=C, де C-довільна постійна, звідки
y(х) =Се-v(x).(21)
Отже, якщо у (х) – розв’язання рівняння (19), те воно має вигляд (21). Безпосередній підстановкою в рівняння (19) функції (21) переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С вона є розв’язанням рівняння (19). Отже, формула (21) дає безліч всіх розв’язків рівняння (19). При початковій умові (6) з неї можна отримати певний розв’язок.
Неоднорідне лінійне диференційне рівняння (18) може бути зведене до вже розглянутого випадку однорідного рівняння. Наприклад, якщо функції р(х) і q(x) — постійні, а саме p(x) =k, k0, q(x) =a (k і а - постійні), рівняння
y'(x) +ky (x) =a (22)
Можна переписати в вигляді однорідного рівняння
.
Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x)цього рівняння визначається формулою
y(x)=Ce-kx+a/k,
а розв’язок рівняння (22), яке задовольняє початковій умові (6), - формулою
(23)
Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.
1. Охолодження тіла
Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.
Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?
Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою
U (0)=500 (24)
Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу tдорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:
U (t) = -k (U (t)-20), k>0.
Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):
U’ (t)+kU (t)= 20k
Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо
U (t)= 480e-kt+20
Використовуючи додаткову умову U(10)=100, знайдемо і, відповідно, U(t)=480. Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.
2. Найпростіші електричні ланцюги
Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:
E=UR+UC+UL. (25)
Тут UR=RI(t) – напруга на активному опорі, UC=q(t)/C – напруга на конденсаторі і UL=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.
Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.
Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L, Гн (L0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0)вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;
Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення
,
яке при заданих R, Lі E(t)можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння
(26)
з початковою умовою
I (0)=0. (27)
Випадок а). При постійному струмі E(t)=Eрівняння (26) з початковою умовою (27) аналогічно рівнянню (22)з початковою умовою (4). Розв’язавши його по формулі (23), знайдемо
. (28)
З (28) маємо, що з зростанням часу tсила струму I(t) наближається до постійного значення E/R. Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.
3. Падіння тілї
При падінні тіл в порожнечі рух відбувається прямолінійно під дією сили тяжіння. При падінні тіл в повітрі рух можна вважати також прямолінійним, що відбувається під дією сили тяжіння і сили опору повітря, направленої вгору.
Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v0 м/с.
Розв’язання. Направимо ось Оу вертикально вниз вздовж траєкторії падіння тіла. На тіло будуть діяти дві сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Проекція сили тяжіння на ось Оу дорівнює mg, де m- маса тіла; проекція сили опору повітря на ось Оу, згідно умові задачі, дорівнює - kv (t), де k-коефіцієнт пропорційності. Проекція прискорення руху тіла на ту же ось дорівнює похідної v’(t). На підставі другого закону Ньютона будемо мати
mu' (t) == mg - kv (t),
або v' (t) +k1v (t)=g, (29)
де k1=k/m.
Рівняння (29) - лінійне диференційне рівняння типу (22) з початковою умовою
v (0)=v0. По формулі (23) знайдемо його розв’язання:
З цієї формули бачимо, що з зростанням часу t швидкість падіння v(t) буде наближатися до значення . При чому якщо v0<, то швидкістьv(t) буде наближатися до значення зростаючи, а при v0> - спадаючи. Наприклад, при затяжному стрибку на парашутиста після розкриття парашуту швидкість з плином часу, спадаючи, буде наближатися до значення . Величина kзалежить від діаметру куполу парашуту. Це дозволяє (при відомому значенні mg) зробити розрахунок так, щоб швидкість спуску парашутиста була безпечною для приземлення. Звичайно така швидкість рівна 5-7 м/с.
Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v0.
Розв’язання. В цьому випадку опір повітря буде відсутнім і рівняння (29) видозмінюється
v’ (t) =g. (30)
В результаті інтегрування отримаємо безліч розв’язків v (t) =gt+C, з якого знайдемо розв’язок рівняння (30), що задовольнить заданій початковій умові v (0) =v0: v (t)=v0+gt-результат, добре відомий з курсу фізики.
III. Гармонічні коливання
х’’+x= 0, (31)
де - деяке додатне число.
Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція
х == A cos(t+a) (32)
для будь-яких сталих A і a є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рівняння (31).
Функція (32) для будь-яких заданих А, і aописує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число a - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають частотою коливання.
Число коливань за одиницю часу визначають за формулою n=.
Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,
x(t0)=x0, x’(t0)=v0. (33)
Тоді для визначення сталих А ідістанемо таку систему рівнянь:
| (34) |
Звідки A2cos2(w t0+a) + A2sin2(w t0+a)=x02+,
A2=x02+.
Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригонометрії визначають початкову фазу a.
З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).
Справді,Поклавши, що дістанемо:
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.
Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розглянуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).
3. Висновки.
Ми розглянули якісно різноманітні фізичні явища, при дослідженні яких припадає розв’язувати аналогічні диференційні рівняння першого або другого порядку. Ця обставина має не тільки філософське значення, підтверджуючи єдність природи, і не тільки природнонаукове значення, підкреслюючи чинність математичних засобів в природознавстві. Воно має і велике практичне значення. Аналогічність диференційних рівнянь, стосовних до різноманітних явищ життя, призвела до виникнення важливого засобу розв'язування практичних задач – засобу математичного моделювання. Диференційне рівняння, виникле при розгляді якої-небудь технічної задачі, моделюють, наприклад, електричним приладом, а саме конструюють такий електроприлад, робота якого описується тим же диференційним рівнянням, що і технічний об'єкт. Спостерігаючи за роботою електроприладу, ми зуміємо судити про поведінку цієї функції. Наприклад, нехай деяка механічна система складається з валу, що через пружину і маховик, повантажений в в’язку рідину, передає обертання іншому валу, жорстко зв'язаному з маховиком. Для вивчення роботи цієї системи конструюється інша система – електрична, що складається з джерела EPC, з'єднаного через котушку індуктивності, конденсатор і активний опір зі лічильником електричної енергії. При цьому можна так підібрати значення індуктивності, ємності і опору, щоб вони певним чином відповідали пружності пружини, інерції маховика і тертю рідини. При такій відповідності обидві системи будуть описуватися одним і тим же диференційним рівнянням. В результаті, вимірюючи силу струму і величину напруги, можна судити про роботу першої (механічної) системи.
4. Список використаноiї літератури
1. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів середніх закладів освіти. Київ 1998 рік.
2. Вигодский М.Я. Довідник з математики. Москва 1991 рік.
3. Журнал “Математика в школі”. Москва 1979 і 1982 роки.
4. Мясников Б.М. Навчальні допоміжні матеріали з фізики. Москва 1985 рік