Теорія споживання (стр. 3 из 3)

,

тобто нахил кривої

.

Переходячи до нескінченно малих приростів, одержимо строгу рівність. Отже, гранична норма заміни двох благ дорівнює зворотному відношенню їх граничних корисностей. Геометрично гранична норма заміни характеризує нахил кривої байдужності в точці.

Гранична норма заміни на кривих байдужності є спадною функцією, тобто зі зростанням споживання одного продукту для його заміни потрібно все менша кількість іншого. Як видно з рис. 1.2,

.

4. Оптимізаційна математична модель поведінки споживача на ринку товарів і послуг

Задача споживача полягає у виборі набору товарів і послуг при заданій функції корисності

й бюджетному обмеженні, що відносить споживача до деякої підмножини простору товарів.

Введемо поняття бюджетної лінії або лінії цін. Така лінія визначається як геометричне місце точок всіх комбінацій товарів, вартість яких дорівнює певній сумі

. Вона характеризує реальну купівельну спроможність споживача й співвідношення цін цих товарів. Наприклад, у випадку двох товарів, при постійних цінах – це пряма , де – ціни, а – доход (рис. 3).

Рисунок 3

Лінії цін характеризуються такими властивостями:

1) мають від’ємний нахил, який дорівнює зворотному співвідношенню цін двох товарів, тобто

;

2) при постійних цінах різним рівням доходу відповідають різні паралельні прямі; більшому доходу відповідає більш висока лінія цін.

При даних цінах і доході споживач прагне забезпечити максимум корисності. Цей максимум досягається в точці дотику самої верхньої кривої байдужності й лінії цін. Точка

є точкою рівноваги, тобто у споживача немає будь-яких мотивів для перегляду даного плану покупок. Інша точка, що знаходиться на лінії цін, наприклад, точка , або нижча за неї, наприклад, точка , перебуватиме на більш низькій кривій байдужності, з більш низьким рівнем корисності та не влаштує споживача.

В точці рівноваги

нахил лінії цін дорівнює нахилу кривої байдужності й забезпечує максимум корисності від закуповуваних товарів. При цьому виконується рівність відношення цін відношенню граничних корисностей товарів

, ,

,

де величина

– гранична норма заміни двох благ.

Формально модель поведінки споживача на ринку є задачею нелінійного програмування з метою відшукання умовного максимуму

, (1)

або в розгорнутому вигляді

, , ,

де

– вектор цін, – ціна -го товару, – витрати на -й товар. Отже, задача споживача полягає у виборі такого набору з множини , який є «найкращим», тобто для всіх інших наборів справедливе співвідношення .

Через те, що цільова функція

безперервна, вона має додатні перші часткові похідні та вiд’ємно визначену матрицю Гессе, а також припустима множина замкнута й опукла, то відповідно до теореми Вейєрштраса розв’язок існує і єдиний.

Визначимо функцію Лагранжа

,

де

–множник Лагранжа.

Необхідними й достатніми умовами для розв’язання задачі споживання (1.1) є умови Куна-Такера

, ,

,(2)

,

, , .

Вважають, що споживачі одержують усі види товарів і послуг. Тоді умова (2) матиме такий вигляд:

, , .(3)

Ці умови виконуються тільки в точці

, де є оптимальним розв’язком (планом) задачі споживання.

Наприклад, у випадку двох товарів розв’язок має задовольняти системі

,

,

.

Геометрично розв’язок знаходяться в точці дотику лінії цін і кривої байдужності (див. рис. 3).

Сформулюємо основні висновки, які випливають із розв’язання задачі споживання:

1) у точці оптимального вибору

ціни пропорційні граничним корисностям товарів, тобто , або відношення граничних корисностей товарів дорівнює відношенню цін

, ;

2) гранична корисність, що доводиться на грошову одиницю, має бути однаковою для всіх товарів, які купують, отже

, ,

3) рівні граничні корисності, що доводяться на грошову одиницю, яку витрачають, дорівнюють

– граничній корисності грошей. Гранична корисність грошей для споживачів з різним рівнем доходів різна: зменшується зі зростанням і зростає з його зменшенням.