Комбінаторика (стр. 6 из 7)

p

q

v q

p	q	p q		v q
i	i	i	x	і
i	x	x	x	х
x	i	і	i	і
x	x	i	i	і

д) Еквіваленція (рівносильність) двох висловлень

Еквіваленцією (рівносильністю) двох висловлень p і q називається висловлення „р тоді, і тільки тоді, коли q, яке істинне тоді і тільки тоді, коли p і q одночасно істинні, або одночасно хибні“

Позначається: p

q , p

q

Еквіваленція

(p

q)

(p

q

q

p)

p	q	p q	p q	q p	p q q p
i	i	і	i	і	і
i	x	х	x	і	х
x	i	х	і	х	х
x	x	і	i	i	і

§ 3.3. Предикати

(неозначуване висловлення або висловлювальна форма)

Розглянемо речення

1. х – парне число

2. Поет х написав поему “ Сон”.

Ці речення не є висловленням, бо неможна сказати чи вони “і” чи “х“. Якщо змінну в першому реченні замінити числом, а в другому прізвищем поета, то вони перетвореться у висловлення.

Предикатом називається твердження, в яке входять вільні змінні і яке при заміні їх коректними значеннями стає висловленням.

Це є одномісні предикати.

Для кожного предиката треба, вказати множину значень, які може приймати змінна х. Цю множину називають областю визначення предиката і в першому прикладі область визначення – N, у другому - множина прізвищ поетів.

Предикат позначають великими буквами:

P(x), Q(x), R(x), S(x), де х

Х.

Множина тих значень змінних, при яких предикат набуває істиного значення називається областю істинності предиката і позначається Т. Область істиності є підмножиною області визначення Т

Х.

У першому прикладі Т = {x | x

N i є парне}

У другому прикладі Т = { Шевченко }

Предикат в який входить дві змінні називаються двомісним. Приклади:

1. x > y;

2. “Поет х написа поему у “

Двомісні предикати позначаються P(x, y), Q(x, y) які визначені на множенні Х Ч У.

В математиці зустрічаються багато предикатів, причому деякі з них мають спеціальні позначення

„х = у“; „х < у“; „х ║ у“; „х

у“ і т.д.

В математиці зустрічається і трьох, чотирьох і т.д. місні предикати. Приклади:

1. Число х ділиться на число у і на число z.

2. Всі числа, які діляться на х і у, діляться і на z.

3. Сума чисел х і у дорівнює добутку чисел U і V.

4. а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + … + а_nx_n = b n–місний предикат

Нехай Q (a, b) – двомісний предикат.

(a - b)І = аІ – 2ab + bІ. Цей предикат перетворюється на істинне висловлення при всіх дійсних значеннях „a” і „b”. Областю істинності предиката Q є множина всіх дійсних чисел R. Такий предикат називається тотожно істинним.

Рівності, рівняння, нерівності та їх системи, що розглядаються в математиці, з точки зору логіки – предикати.

§ 3. 4. Квантори.

У математиці часто використовують вирази „для всіх”, „для кожного”, „яке б не було”, „існує”, „знайдеться хоча б одне”.

Для позначення цих виразів вживаються символи, які називаються кванторами: квантор загальності , який позначається

, у звичайній мові йому відповідає вираз „для кожного”, „для всякого”, „для всіх”.

Нехай Р(х) – „Трикутник х прямокутний», то вираз (

х є Х) Р(х) читається:

1. Будь-який трикутник прямокутний

2. Кожний трикутник прямокутний

3. Всі трикутники прямокутні

Усі ці висловлення є хибними. Отже, в результаті квантифікації (приписуванні кватора) предикат перетворюється у висловлення. Цей квантор називається квантором загальності.

Розглянемо ще квантор існування, який позначається

. У звичайній мові йому відповідає вираз: „існує”, „знайдеться хоча б одне”.

Нехай Р(х): „х > 5”

Вираз (

х є R) (х > 5) читається:

1. Існує дійсне число х таке, що х > 5

2. знайдеться таке дійсне число х, яке > 5

3. хоча б одне дійсне число > 5

В результаті квантифікація, навішування квантора на змінну предикат перетворився у висловлення.

Над предметами, так само, як і над множинами можна проводити операції кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення, імплікацію і еквіваленцію.

§ 3. 5. Поняття про теореми.

Які б ми розділи математики не розглядали скрізь ми зустрічаємось з твердженнями, які називаємо теоремою.

Теорема – це математичне твердження, істинність якого з’ясовується доведенням (міркуванням).

Формулювання будь-якої теореми складається з двох частин: умови і висновку, який випливає з даної умови.

Розглянемо приклад. Теорема: „Якщо точка лежить на бісектрисі кута, то вона рівновіддалена від сторін цього кута”.

Якщо умову позначити через Р (х), то вона буде виражатися реченням: „Точка лежить на бісектрисі”, а висновок позначити через Q (х), то це буде речення „Точка рівновіддалена від сторін кута”. Як умова так і висновок є предикатами, які задані на множині Х всіх точок площини. Тому дану теорему можна записати у вигляді

(

х є Х) (Р(х)

Q (х))

Отже, в цій теоремі ми виділили такі три частини:

1. Умова теореми: предикат Р (х), заданий на множині Х усіх точок площини.

2. Висновок теореми: предикат Q (х), який заданий на множені Х

3. Пояснювальна частина

х є Х: в ній описується множина об’єктів, про які йде мова в теоремі.