Комбінаторика (стр. 4 из 7)

Висловлення позначаються малими латинськими буквами: p, q, r, s, ......

Множину усіх висловлювань, яку позначимо буквою S, ділять на дві підмножини (класи)

Т – клас усіх істинних висловлювань

F – клас усіх хибних висловлювань

Два висловлювання p і q називаються рівносильними (логічно рівними), якщо вони належать до одного й того самого класу і записують

Із означення рівносильності висловлювань виникають властивості:

1. р

2. Якщо р

q, то q
р – симетричність

3. Якщо р

q і q
r,то р
r – транзитивність

§ 3. 2. Операції над висловленнями

У розмовній мові для сполучення двох речень вживають слова: і, або, якщо ...... то, тоді і тільки тоді, не. З’ясуємо те значення, в якому ці слова вживаються в логіці.

а) Логічне множення (кон’юнкція)

Логічним добутком (кон’юнкцією) двох висловлень p і q називається

таке висловлення „p і q”, яке істинне тоді і тільки тоді, коли p і q одночасно істинні. Позначається: p

Згідно з означенням маємо таку таблицю істинності для кон’юнкції.

p	q	p q
i	i	i
i	x	x
x	i	x
x	x	x

Приклад. Нехай висловлення р буде “5<8”, а висловлення q – “ 8 < 13 “, тоді кон’юнція цих висловлень буде “ I ”, бо істинне p i q .

Переважно скорочено таку кон’юнкцію записують як подвійну нерівність 8 < 5 < 13

Властивості кон’юнкції

1) Комутативна (переставна властивість) p

q
q
p

p	q	p q	q p
і	і	і	і
і	х	х	х
х	і	х	х
х	х	х	х

2) Асоціативна (сполучна) властивість (p

q)
s
p
(q
s)

p	q	s	(p q)	(p q) s	(q s)	(q s) p
і	і	і	і	і	і	і
і	х	х	х	х	х	х
х	і	х	х	х	х	х
х	х	і	х	х	х	х
х	і	і	х	х	і	х
і	х	і	х	х	х	х
і	і	х	і	х	х	х
х	х	х	х	х	х	х

Означення кон’юнкції двох висловлювань розповсюдна на будь-яке скінченне число висловлювань

р_і = р₁
р₂
р₃
р₄
…
р_n

б) Логічне додавання (диз’юнкція)

Диз’юнкцією або логічною сумою двох висловлень p і q називається висловлення “p і q „ яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне із висловлювань і хибне коли вони обидва хибні.

Позначення диз’юнкції: p v q

Таблиця істинності:

p	q	p v q
i	i	i
i	x	і
x	i	і
x	x	x

Закони диз’юнкції

1) Комутативний: p v q

q v p

p	q	p v q	q v p
і	і	і	і
і	х	і	і
х	і	і	і
х	х	х	х

2) Асоціативний закон диз’юнкції (p v q) v s

p v (q v s)