Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел (стр. 1 из 2)
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть
- кольцо с единицей 1. Элемент 
из множества 
называется обратным в кольце 
, если 
. 
называется обратным к .Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо
, элемент 2 необратим в этом кольце, так как 
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел. 
- обратимые элементы в кольце целых чиселРассмотрим кольцо рациональных чисел
, обратимыми являются все элементы кроме 
.Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
, обратимыми являются все элементы кроме .Определение. Поле – это кольцо
, если: - коммутативное кольцо (операция 
коммутативна) - кольцо с единицей 1, единица 
.Всякий ненулевой элемент кольца
обратим.Примеры полей.
- поле рациональных чисел. - поле действительных чисел.Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа
- галуафилд. 
; 
. Определимоперации сложения и умножения:
И 
- бинарные операции, 
- унарнаяИз этой таблицы видно, что операция
- коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. 
, 
.п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть
- поле. Обозначение: 
.Если
, то 
.Доказательство. Пусть
, докажем, что 
, то есть 
, тогда 
противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | 
, 
.Если
, 
. 
умножим равенство справа на 
, то есть 
. 
.Доказательство. Если
, то , умножая обе части равенства 
на слева, 
.В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции:
, 
, значит нет делителей нуля.Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.Доказательство.
. Умножим обе части равенства справа на 
, где 
. 
, где .Доказательство. Выпишем правую часть
равна левой части. 
, где .Доказательство. Правая часть
равна левой части. 
, .