Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел (стр. 3 из 4)
Тогда
- гомоморфизм колец.Доказательство. Из свойства
является гомоморфизмом групп 
и 
, поэтому обладает свойствами: 
, 
, значит по определению - гомоморфизм колец.Определение. Отображение
называется изоморфизмом кольца 
на 
, если 
обладает свойствами: - гомоморфизм колец. - биекция.Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.
Пусть
- кольцо, 
, 
.Определение. Множество
- замкнуто относительно операции 
, если 
.Множество
- замкнуто относительно операции 
, если 
. Множество - замкнуто относительно операции 
, если 
.Теорема. Пусть
- кольцо, , , если - замкнуто относительно операции 
, то 
- кольцо, которое называется подкольцом, кольца 
.Доказательство.
- бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует 
, так как - замкнуто относительно операции , то 
, значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на 
, потому алгебра 
- кольцо.Теорема. Пусть
- числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система
, где бинарные операции, - унарная операция, 
, 
, 
называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:I.
- кольцо.Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество
- замкнуто относительно операций и алгебраическая система 
является системой натуральных чисел (системой Пеано).Для
, 
Для
, 
Для
, 
Для
, 
Для
, 
Для
, 
Аксиома индукции: пусть
. Если множество удовлетворяет условиям:а)
б)
, 
, то 