Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора (стр. 1 из 3)

Як ми вже знаємо один і той же лінійний оператор в різних базисах задається різними матрицями. Виникає питання: чи не можна знайти такий базис векторного простору, в якому матриця лінійного оператора має найпростіший вигляд. Таким виглядом буде діагональний вигляд. До вияснення цього питання ми і приступаємо.

1. Інваріантні підпростори.

Нехай U підпростір векторного простору V_n, а φ – лінійний оператор, заданий на просторі V_n.

Означення. Підпростір U векторного простору V_nназивається інваріантним відносно лінійного оператора φ, якщо образ

φ кожного вектора із U належить цьому підпростору U, тобто

.

Приклади.

1. Розглянемо звичайний тривимірний простір V₃ і нехай φ – поворот навколо осі OZ. Інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина XOY і сама вісь OZ.

2. Розглянемо знову векторний простір V₃ і лінійний оператор φ, який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V₃ на площину XOY. Інваріантними підпросторами будуть: площина XOY, сама вісь OZ, всі площини, які проходять через вісь OZ і всі прямі площини XOY, які проходять через початок координат.

3. В будь-якому векторному просторі кожен підпростір інваріантний відносно тотожного і нульового оператора.

4. В будь-якому векторному просторі сам простір і його підпростір, який складається тільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійного оператора.

Доведемо, що перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора φ, інваріантні відносно цього оператора φ.

Нехай підпростори U₁ і U₂ – інваріантні відносно лінійного оператора

, і нехай . Тоді і , а значить і , тобто . Отже, - інваріантний підпростір відносно оператора .

Нехай

, де і . Тоді і , . Отже, – інваріантний підпростір відносно оператора .

Особливу роль відіграють одновимірні інваріантні підпростори.

2. Власні вектори і власні значення.

Означення. Власним вектором лінійного оператора φ називається ненульовий вектор

, для якого виконується рівність , де – деяке число, яке називається власним значенням лінійного оператора, якому відповідає власний вектор .

Властивості власних векторів.

1. Якщо

– власний вектор лінійного оператора з власним значенням , то вектор при будь-якому також є власним вектором з тим самим власним значенням .

2. Якщо

, ,…, – власні вектори лінійного оператора , які належать до того самого власного значення , то будь-яка їх лінійна комбінація також буде власним вектором цього оператора з тим самим власним значенням .

3. Теорема. Власні вектори, які відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення. Нехай

, ,…, – власні вектори лінійного оператора , які відповідають різним власним значенням , відповідно, тобто . Доводимо теорему методом математичної індукції за кількістю векторів.

Для

теорема справедлива, бо за означенням, і тоді і тільки тоді, коли .

Нехай теорема справедлива при

, тобто - лінійно незалежні. Припустимо, що

(1)

і доведемо, що рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі

.

Подіємо на рівність (1) лінійним оператором

:

використавши лінійність оператора

, одержимо

звідси

. (2)

Віднімемо від рівності (2) рівність (1), помножену на

. Одержимо

. (3)

За припущенням індукції вектори

лінійно незалежні, тому рівність (3) виконується тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти при дорівнюють нулю. Але за умовою ( ), а тому .

Підставивши ці значення

у рівність (1), одержимо , звідси , бо . Отже, рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі ( ) одночасно. Тому – лінійно незалежні.

Теорему доведено. Повернемось до питання, як знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. Для цього нам потрібно розглянути деякі додаткові поняття.

Характеристична матриця

Нехай дана квадратна матриця