Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора (стр. 2 из 3)

.

Матриця

називається характеристичною матрицею. Детермінант цієї матриці

називається характеристичним многочленом.

Корені цього многочлена називаються характеристичними числами.

Теорема. Характеристичні многочлени подібних матриць однакові.

Доведення. Нехай

. Тоді

Теорема доведена.

Нехай лінійний оператор

в базисі векторного простору задано матрицею

і

– власний вектор оператора , який відповідає власному значенню , тобто .

Позначимо координати вектора

в базисі через .

Тоді з одного боку

, а з другого боку .

Тоді

або в розгорнутому вигляді

(4)

Звідси одержимо систему лінійних однорідних рівнянь

Власний вектор

є ненульовим розв’язком системи (4´). Як відомо, однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли її детермінант дорівнює нулю, тобто, коли виконується умова

Так як детермінант при транспонуванні не змінюється, то одержимо рівняння відносно невідомого

(5)

Отже, ми довели теорему: кожне власне значення лінійного оператора

, заданого матрицею А, є коренем характеристичного многочлена.

Провівши міркування знизу вверх, одержимо твердження: кожний корінь характеристичного многочлена лінійного оператора

буде його власним значенням.

В ході доведення теореми ми одержали схему знаходження власних значень і власних векторів лінійного оператора.

Приклад. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора заданого матрицею

Схема розв’язування:

1. Складаємо характеристичну матрицю

.

2. Шукаємо характеристичний многочлен

=

3. Розв’язуємо характеристичне рівняння

(2-

Отже, власними значеннями лінійного оператора є числа 1, 2, -1.

4. Для знаходження власних векторів розв’язуємо систему рівнянь

тобто (5)

а) Шукаємо власні вектори, які відповідають власному значенню

підставивши у (5) замість одиницю:

або в розгорнутому вигляді

Ранг цієї системи дорівнює 2, тому фундаментальна система її розв’язків складається з одного розв’язку. Знаходимо його. Зліва залишаємо змінні

, а перенесемо в праву частину і вважаємо її відомою: звідси Покладемо тоді . Отже, одним із власних векторів, які відповідають власному значенню є вектор Всі власні вектори, які відповідають цьому значенню мають вигляд , де -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля.

Самостійно знайти власні вектори, які відповідають власним значенням 2 і

.

Весь набір характеристичних коренів оператора

(причому кожний корінь береться з тією кратністю, яку він має в характеристичному рівнянні) називається спектром лінійного оператора.

Сукупність власних векторів оператора

, яким відповідає одне і те саме власне значення , збігається з сукупністю всіх ненульових розв’язків систем лінійних однорідних рівнянь.

Лінійні оператори з простим спектром

Кажуть, що лінійний оператор

у n – вимірному просторі над полем Р має простий спектр, якщо всі його n характеристичні корені різні.

Повернемося до питання: чи існує базис простору

, в якому лінійний оператор задається діагональною матрицею.

Нехай в просторі

існує базис, який складається з власних векторів , які відповідають власним значенням , відповідно. Знайдемо матрицю цього оператора в цьому базисі:

тобто оператор

заданий діагональною матрицею, причому по діагоналі стоять власні значення лінійного оператора, які відповідають власним векторам базису.

Навпаки. Нехай лінійний оператор

в деякому базисі задається довільною матрицею .

За означенням матриці лінійного оператора в даному базисі

звідси тобто вектори базису є власними векторами оператора з власними значеннями . Таким чином ми довели теорему: