Избранные теоремы геометрии тетраэдра (стр. 6 из 9)
Задача 1.
Доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.
Решение:
Пусть DH – высота правильного тетраэдра, точка H – центр правильного ΔABC. Тогда проекцией отрезка AD на плоскость основания ABC будет отрезок BH. Т.к. BHAC, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная BD AC.
Задача 2.
Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. найдите расстояние между прямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О-центр грани АВС.
Решение:
1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми - это длина перпендикуляра, опущенного из одной прямой, к плоскости, параллельной этой прямой и содержащей вторую прямую.
2. Строим проекцию AK отрезка AL на плоскость ABC. Плоскость AKL перпендикулярна плоскости ABC, параллельна прямой MO и содержит прямую AL. Значит, искомая длина - это длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O к AK.
3. Найдем SΔKHAдвумя способами.
SΔ=
.С другой стороны: SΔKHA=
поэтому ρ
.НайдёмON:
ρ 
= 
.Задача 3.
Каждое ребро треугольной пирамиды PABCравно 1; BD– высота треугольника ABC. Равносторонний треугольник BDEлежит в плоскости, образующей угол ϕс ребром AC, причём точки Pи Eлежат по одну сторону от плоскости ABC. Найдите расстояние между точками Pи E.
Решение. Поскольку все рёбра пирамиды PABCравны, это правильный тетраэдр. Пусть M – центр основания ABC, N– ортогональная проекция вершины Eравностороннего треугольника BDEна плоскость ABC,K– середина BD,F– основание перпендикуляра, опущенного из точки Eна высоту PMтетраэдра PABC. Так какEK 
BD, то по теореме о трёх перпендикулярахNK BD, поэтому EKN– линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABCи BDE, а т.к. NK || AC, то 
EKN = ϕ. Далее имеем:
BD =
, MD = 
, KD = 
, BD = 
, PM = 
,KM = KD - MD =
- = 
,EK = BD· = 
, EN = EKsinϕ = sinϕ,NK = EK cos ϕ =
cos ϕ, MN2 = NK2 + KM2 = 
cos 2ϕ + 
,PE2 = EF2 + PF2 = MN2 + (PM - MF)2 = MN2 + (PM - EN)2 =
=
cos 2ϕ + + ( - sin ϕ)2 = cos 2ϕ + + 
- 
sin ϕ + sin 2ϕ == + + - sin ϕ = 
- sin ϕ = - 
sin ϕ.Следовательно,
PE =
= 
.Задача 4.
Найди углы между скрещивающимися высотами соседних граней тетраэдра.
Решение.
Случай №1.
Пусть BK и DF – высоты граней ABC и BCD. 
BK, FD = α. Обозначим длину ребра тетраэдра как a. Проведем FL || BK, тогда α = DFL.
, KL=LC. 
Запишем теорему косинусов для ΔDLF:
; 
; 
; 
.Случай №2 (высота расположена иначе).
BK и CN – высоты граней ABC и BCD. Проведем FP || CN и FL || BK.
; 
. Найдем LP. DO – высота правильного тетраэдра, DO = 
, Q – проекция P на плоскость ABC, 
. 
, 
; 
.Запишем теорему косинусов для ΔLFP:
; 
; 
.Так как угол между прямыми по определению острый
.Глава II. Тетраэдр в курсе математики средней школы
§1. Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» в школьных учебниках
В школьном курсе геометрии на изучение основ темы «Тетраэдр» отводится достаточно много времени. Методических проблем проведения этой темы практически не возникает, так как учащиеся знают, что такое пирамида (в т.ч. и треугольная), как из пропедевтических курсов прежних лет обучения математики, так из жизненного опыта. Правильный тетраэдр ассоциируется с его плоским аналогом - правильным треугольником, а равенство сторон с равенством ребер или граней.
Однако проблемы в изучении темы для учащихся существуют, и разные учебники пытаются решить их разными способами (порядком изложения теоретического материала, уровнем сложности задач и т.п.). Дадим краткую характеристику распространенных учебников геометрии в аспекте изучения тетраэдра.
Изложение темы «Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Атанасяна Л. С. и др.
В базовом учебнике «Геометрия» для 10-11 классов средней школы Атанасяна Л. С. и др. информацию о тетраэдре можно найти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).