Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 7 из 7)
то мы приходим к заключению, что уравнение (4.7а) удовлетворяется тождественно. Таким образом, при каждом значении импульса p имеются два линейно независимых решения с положительной энергией, которые соответствуют, например, выбору
в виде 
и 
. Это же можно выяснить и несколько другим путем. Оператор Гамильтона 
коммутирует с эрмитовым оператором 
(4.11)Где
(4.12)Оператор
называется оператором спиральности, или, просто, спиральностью частицы. С физической стороны он соответствует проекции спина частицы на направление движения. Так как коммутации H и в качестве решений, то можно выбрать общие собственные функции этих операторов. Но, т.к. 
, то собственные значения операторов равны 
. Решение с заданным импульсом и фиксированном знаком энергии можно классифицировать и решения с отрицательной энергией, когда 
. В этом случае снова имеются два линейно независимых решения, соответствующих собственным значениям +1 и – 1 оператора . Итак, при фиксированном импульсе p уравнение Дирака имеет четыре линейно независимых решения, характеризующихся решениями 
Явный вид двух линейно независимых решения уравнения Дирака с импульсом p и положительной энергией следующий:
(4.13а) 
(4.13б)Нормировочные множители здесь определены из условия
. Отметим, что эти два решения ортогональны друг другу: 
(4.14)Выписанные решения не являются собственными функциями оператора
. Решения с положительной энергией и с определенной спиральностью можно получить, если принять во внимание, что уравнение 
записывается в виде 
(4.15а) 
(4.15а)где
и 
– верхние и нижние пары компонент спинора 
, а n – единичный вектор, направленный по p, 
. Отсюда для нормированных величин получаем выражение 
(4.16а) 
(4.16б)Таким образом, нормированная собственная функция со спиральностью +1 и с положительной энергией записывается в виде
(4.17)Итак, мы рассмотрели небольшую тему из раздела квантовой теории поля – уравнение Дирака. Узнали вид уравнения Дирака, матрицы Дирака и общее решение этого уравнения.
Без знаний тензорного анализа трудно было бы понять суть нашей темы.
В тензорном анализе понятие тензора вводится следующим образом. Пусть нам задан какой-нибудь вектор
и будем его рассматривать в различных системах координат. Тогда в каждой системе координат с какими-нибудь базисными векторами у нас будет задана своя система чисел, причем при переходе от одной какой-нибудь системы координат к любой другой эти числа преобразуются по какому-нибудь закону, то говорят в таких случаях, что нам задан тензор.С помощью некоторых операций над тензорами мы и пришли к решению уравнения Дирака.
1. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М.: Изд-во ин. лит-ры, 1963, 844 с.
2. Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ. М.-Л.: ОНТИ, 1936, 200 с.
3. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001, 575 с.
4. Мак-Конел А.Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Физматгиз, 1963, 412 с.