Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 5 из 7)

Вообще представление какой-либо группы G есть отображение (соответствие), сопоставляющее каждому элементу g из G линейный оператор T_g, действующий в некотором векторном пространстве V, и притом такое, что сохраняется таблица умножения для группы, а единица e группы G отображается тождественным преобразованием I в V.

Подпространство V₁ пространства V называют инвариантным подпространством относительно представления T_g, если все векторы

в V₁ преобразуются по T_g в векторы , снова принадлежащие V₁, и это справедливо при всех преобразованиях T_g.

Каждое вращение является вращением вокруг некоторой оси, так что она может быть характеризовано заданием оси вращения, т.е. оси, вокруг которой осуществляется поворот и величины угла поворота. Таким образом, вращение может быть задано вектором

, направленным вдоль оси вращения и равным по величине углу поворота. Так, вращение вокруг оси 1 задается вектором , вокруг оси 2 – вектором и т.д. Элемент группы может рассматриваться как функция , т.е. , и тоже относится к представлению: . Вектор соответствует тождественному преобразованию

(3.5)

Рассмотрим бесконечно малые вращения вокруг той или иной оси. Их важность связана с тем, что они порождают однопараметрические подгруппы и что любое конечное вращение может быть построено как последовательность бесконечно малых. Бесконечно малые вращения коммутируют друг с другом, тогда как конечные вращения в общем случае не коммутируют.

Пусть

будет матрицей поворота на угол вокруг оси 3, и пусть определена матрица

(3.6)

Оператор

называют генератором вращения вокруг оси 3. При бесконечно малом можно записать

(3.7)

Теперь вращения

на угол вокруг оси 3 может рассматриваться как результат n поворотов на угол . Поэтому мы можем записать

(3.8)

Аналогичным образом можно определить генераторы вращений вокруг осей 1 и 2. Так как

(3.9)

то явным видом для

будет

(3.10а)

и аналогично

(3.10б)

Можно проверить, что генераторы

удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

(3.11)

где

– полностью антисимметричный тензор 3-го ранга с компонентами, равными +1, если ljk есть четная перестановка 1 2 3, равными –1, если перестановка нечетная, и равными нулю в остальных случаях. Отметим, что оператор отражения коммутирует со всеми вращениями

(3.12)

Бесконечно малый поворот вокруг

на угол может быть записан в виде

(3.13)

Соответствующий оператор представления запишем

(3.14)

где

образуют представление генераторов и удовлетворяют перестановочным соотношениям

(3.15)

Пусть операторы

. Эти операторы будут эрмитовыми и удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов момента количества движения

(3.16)

В случае группы вращений со всеми генераторами коммутирует оператор

, и поэтому он является инвариантом группы. Его собственные значения, как известно из теории оператора момента количества движения, равны , где .Таким образом, каждое неприводимое представление характеризуется положительным целым или полуцелым j, включая 0. Размерность неприводимого представления равна при любом весе j, целым или полуцелым. Переходя к классификации неприводимых представлений ортогональной группы, заметим, что линейный оператор , соответствующий операции отражения , коммутирует со всеми вращениями.

В теории представления групп, осуществляемых комплексными матрицами, фундаментальное значение имеет лемма Шура, в которой доказывается, что необходимое и достаточное условие для неприводимости представления состоит в том, чтобы единственными матрицами, коммутирующими со всеми матрицами представления, были матрицы, кратные единичной.

По лемме Шура в каждом неприводимом представлении он должен быть кратен единичному оператору. Таким образом, неприводимые представления ортогональной группы классифицируются парой индексов

, где второй индекс является собственным значением , соответствующий данному представлению. При целых j имеем (ибо ), так что существуют два различных неприводимых представления ортогональной группы. В одном из них , в другом .

При

представление одномерно, каждый элемент группы отображается единичным элементом, а генераторы тождественно равны нулю. Представление, в котором , назовем скалярным, а то, в котором , – псевдоскалярным.

При

представление группы вращений двумерно, и генераторы могут быть реализованы эрмитовыми матрицами Паули , умноженными на :

(3.17)

Они удовлетворяют соотношению

(3.18)

Таким образом, в представлении веса

оператор поворота на угол вокруг оси 3 записывается в виде