
(2.4)
где множители

возникают в зависимости от того, коммутируют или антикоммутируют

и

друг с другом. Умножая (2.3) и (2.4) на

и вычисляя след, получаем, что

. Так как в качестве

бралась любая из матриц Г, за исключением единичной, то единственный отличный от нуля коэффициент разложения (2.3) есть

, что и требовалось доказать.
Основная теорема о матрицах

гласит: если даны две системы

матриц

и

, удовлетворяющих перестановочным соотношениям

(2.5а)

(2.5б)
то существует такая несобственная матрица S, что

(2.6)
Явный вид S дается выражением

(2.7)
где F – произвольная

матрица, которая может быть выбрана таким образом, чтобы матрица S была несобственной. Совокупность 16 линейно независимых

построена из матриц

точно так же, как были построены

из

. Для доказательства теоремы заметим, что если

, где

, то тогда

, так что

. Отметим, что в штрихованной системе число

будет тем же самым, т.е

, так как его значение определяется только перестановочными соотношениями, а они одинаковы для обеих совокупностей матриц. Так как

равно либо

, либо

, то

. Воспользовавшись для S представлением (2.7), получаем

(2.8)
с учетом того, что при фиксированном

матрица

, находящаяся под знаком суммы по

, пробегает все значения 16 элементов алгебры. Это позволило заменить сумму по

суммой по

. Таким образом, получаем

(2.9)
Так как матрицы

неприводимы, то по лемме Шура матрица S является несобственной. Кроме того, с точностью до множителя матрица S определяется однозначно. В самом деле, предположим, что таких матриц S имеется две, скажем

и

, так что

и

. Тогда исключая

, получаем

, т.е. что матрица

коммутирует со всеми матрицами

и, следовательно, кратен единичной матрице. Отсюда

. Часто бывает удобным наложить условие нормировки

, которая определяет матрицу S уже с точностью до множителя

, равного

, или

.
Интересен частный случай соотношения (2.7), когда

. В этом случае

, и S есть матрица, кратная единичной:

. Тогда матричный элемент соотношения (2.7) с индексами

равен

(2.10)
Так как это тождество верно при любом выборе матрицы F, то из него следует

(2.11)
где

– некоторая постоянная. Для определения этой постоянной свернем индексы

и

:

(2.12)
откуда

, и, таким образом, приходим к тождеству

(2.13)
3. Спиноры
Связь между координатами точек трехмерного пространства для двух наблюдателей, системы координат которых повернуты друг относительно друга вокруг общего начала, имеет вид

(3.1а)
или

(3.1б)
Длина вектора и угол между векторами остаются неизменными при вращениях, т.е.

(3.2)
Следовательно,

(3.3)
т. е. вращения представляются ортогональными матрицами. Из (3.3) следует

так что для матриц, удовлетворяющих (3.3),

Преобразования, для которых

, называют собственными преобразованиями или вращениями, а те, для которых

, несобственными ортогональными преобразованиями. Примером несобственного преобразования является отражение в начале координат, которое представляется матрицей

(3.4)
причем

. Преобразование

соответствует переходу от правой системы координат к левой. Каждое несобственное преобразование

с

может быть записано в виде

, т. е. как отражение

, вслед за которым уже выполняется вращение; в самом деле,

Совокупность всех вращений в евклидовом трехмерном пространстве образует группу – группу вращений. Группа всех вращений вместе с отражениями называется ортогональной группой. Так как каждый элемент группы может быть охарактеризован заданием трех непрерывно изменяющихся параметров (например, направляющих косинусов оси, вокруг которых совершается вращение, и угла поворота), то группа вращений является непрерывной трехпараметрической группой. Число параметров группы называется размерностью группы.