
(1.24)
С помощью

-матриц уравнение (1.21) записывается в виде

(1.25)
где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение (1.25) и является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой пространственные и временные производные входят равноправно.
Для упрощения полученного уравнения введем обозначения. Обозначим при помощи

величину

(1.26)
где матрицы

определяются согласно

(1.27)
С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравнение Дирака записывается в виде

(1.28)
Где

(1.29)
Ток и плотность можно записать с помощью матриц

следующим образом. Умножая равенство (1.23) на матрицу

слева, находим

, а поэтому ток

(1.14)
примет следующий вид

(1.30)
С помощью "сопряженной" волновой функции

, определенно согласно

(1.31)
выражение для тока записывается в виде

(1.32)
Аналогично через матрицы

записывается и плотность

(1.33)
Уравнение для сопряженной функции

получают из уравнения (1.8), вставляя в каждом члене справа от

множитель

и используя затем соотношения (1.11), (1.12) и (1.23). В естественной системе единиц это уравнение запишется так:

(1.34)
2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака
Матрицы

образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих перестановочным соотношениям

.
Рассмотрим 16 элементов:

Все другие произведения матриц

с помощью перестановочных соотношений могут быть сведены к одной из шестнадцати. Множитель i вставлен для того, чтобы квадрат каждого элемента был равен +1. Обозначим элементы в выписанном порядке при помощи

(l=1, 2, …,16). Замечаем, что с точностью до множителей

или

произведение любых двух элементов всегда равно третьему. Для каждого элемента

, за исключением

, всегда можно найти такой элемент

, что

. Это утверждение мы докажем, но для этого укажем элемент

для каждого

. Так, для l=2, …,5, т.е. для элементов второй строки списка,

; в случае третьей строки, например, элементу

соответствует

, так как

; для всей четвертой строки

, а для пятой в качестве

можно выбрать, например,

. Отсюда следует, что след любой матрицы

с

равен нулю, так как

Шестнадцать элементов

линейно независимы, другими словами, равенство

справедливо только тогда, когда все

.
Докажем. Вычисляя след от

, получим

. Аналогично, последовательно умножая уравнение на каждую из

и вычисляя след, получаем, что

, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что гиперкомплексные числа нельзя представить матрицами размерности, меньшей

, так как при меньшей размерности не существует 16 линейно независимых матриц. Обратно,

можно представить матрицами, размерностью

, потому что среди этих матриц имеется ровно 16 линейно независимых (так как число элементов

матрицы равно 16). Это представление (как и все ему эквивалентные) оказывается неприводимым. Любое другое представление может быть приведено к виду

где

– матрицы размерности

.
Из линейной независимости

следует, что всякая

матрица X может быть записана в виде

(2.1)
Где

(2.2)
Так как

-матрицы неприводимы, то по лемме Шура следует, что любая

матрица, коммутирующая со всеми матрицами

, кратна единичной матрице.
На самом деле. Пусть X будет матрицей, коммутирующей со всеми матрицами

, а следовательно, и со всеми

. Представим X в виде

(2.3)
Пусть

такая матрица, что

. По предположению,

, а потом, умножая (2.3) слева и справа на

, получаем