
(1.5)
В этом уравнении

есть матрица-столбец с N строками, а

и

– матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение (1.5) и известно как уравнение Дирака.
Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответствуют уравнению (1.5). Так как мы хотим сохранить для

привычное определение, то полагаем

(1.6а)
или в матричной записи

(1.6б)
где

– величина, эрмитово сопряженная

, а следовательно, являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов. Выражения (1.6) для плотности явно положительны определены и, таким образом, отвечают основным требованиям Дирака. Далее потребуем, чтобы

удовлетворяла уравнению неразрывности

(1.7)
где ток j еще должен быть определен. Можно надеяться, что тогда будет применима обычная вероятностная интерпретация. Величина

удовлетворяет уравнению

(1.8)
которое получается эрмитовым сопряжением уравнением (1.5). Как и выше, "

" является знаком эрмитова сопряжения, при котором матрицы

и

транспонируются и комплексно сопрягаются, например

(1.9)
Перестановка

с

в (1.8) необходима потому, что

– строка, и, следовательно,

и

должны стоять после нее (а не перед ней).
Уравнение неразрывности типа (1.7) можно теперь вывести из уравнений (1.5) и (1.8), если первое умножить на

слева, а второе – на

справа и сложить получившиеся результаты. Это приводит к уравнению

(1.10)
Последний член не содержит производных. Поэтому, если мы хотим отождествить уравнение (1.10) с уравнением (1.7), нужно добиться, чтобы этот член был равен нулю. Это можно достигнуть, если потребовать, чтобы

(1.11)
то есть чтобы матрица

была эрмитовой. Для отождествления второй группы членов в уравнении (1.10) с дивергенцией мы потребуем далее, чтобы

(1.12)
Другими словами, и

и

должны быть эрмитовыми матрицами. Другой путь, ведущий к тому же результату,— переписать уравнение (1.5) в гамильтоновой форме:

(1.13)
Ясно, что для эрмитовости H матрицы

и

должны быть эрмитовыми. Сравнивая (1.7) с (1.10), заключаем

(1.14)
Для вывода дальнейших свойств матриц

и

нужно исследовать условия, которое накладывает требование, чтобы функция

удовлетворяла уравнению

(1.3)
Где

С этой целью умножим уравнение (1.5) на оператор

Который приведет к появлению вторых производных. Члены с

и со смешанными пространственно-временными производными сокращаются, и мы получаем

(1.15)
Мы симметризовали здесь член

, что можно зделать вследствие коммутации

и

. Чтобы уравнение (1.15) согласовалось с уравнением Клейна-Гордона, необходимо его правую часть свести к

Это накладывает следующие условия:

(1.16)

(1.17)

(1.18)
то есть матрицы

должны антикоммутировать между собой и с матрицей

, а квадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице.
В уравнении (1.16) символ

– контравариантный символ Кронекера, значение которого совпадает с

, где

– смешанный символ Кронекера, причем

В практических приложениях нет необходимости использовать явное представление для

и

; достаточно знать, что они эрмитовы и обладают свойствами (1.16) – (1.18). Более того, при решении задач удобнее обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть четной.
На самом деле. Перепишем соотношение (1.17) в виде

(1.19)
где I – единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равенства (1.19), получим

(1.20)
где учтено, что

. Отсюда

, и число N должно быть четным.
Придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи

(1.5)
для уравнения Дирака пространственные производные умножены на матрицы, а временные нет. Чтобы устранить это неравноправие, умножим уравнение (1.5) слева на матрицу

:

(1.21)
Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицы

(1.22)

(1.23)
Отметим, что при таком определении матрица

эрмитова и

,а матрицы

– антиэрмитовы, то есть

, и

. Отсюда следует, что матрицы

удовлетворяют перестановочным соотношениям