Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 6 из 13)

Аналогично – график на данном полуинтервале:

Теперь мы уже поняли, что

коллинеарен в точке . Следовательно, вычислять кручение кривой в этой точке по формуле (*) нельзя. Как мы сейчас увидим, в результате – кривая не будет плоской.

Действительно, возьмем три вектора:

,

,

.

Проверим, лежат ли они в одной плоскости.

.

Действительно, они некомпланарны, а следовательно, и соответствующие этим векторам прямые не лежат в одной плоскости, значит, поверхность не является поверхностью Каталана.

Теперь осталось написать явно хороший пример такой поверхности.

Пусть

Примерный вид такой поверхности изображен ниже на рисунке.

2.2 Примеры поверхностей Каталана

поверхность каталан линейчатый квадратичный

1. Очевидно, все цилиндры являются поверхностями Каталана.

Так как направляющий вектор образующих цилиндрической поверхности не зависит от параметра.

Например, – прямой круговой цилиндр.

2. Прямой архимедов геликоид (является также и коноидом)

2.3 Виды поверхностей Каталана

Напомним, что среди линейчатых поверхностей имеет место следующая классификация.

Теорема 2.1

Поверхность Каталана может быть либо косой линейчатой поверхностью, либо цилиндрической поверхностью, и не может быть конической поверхностью (имеется в виду невырожденный случай, т.е. когда все образующие конуса не лежат в одной плоскости).

Доказательство

Примеры цилиндрический и косой линейчатой поверхности мы уже видели. Осталось показать, что поверхность Каталана не может быть ни конической поверхностью, ни поверхностью касательных.

1. Конус. Очевидно, что если имеет место невырожденный случай (не все образующие лежат в одной плоскости), то это противоречит определению поверхности Каталана.

2. Поверхность касательных. Рассмотрим произвольную поверхность касательных:

.

Т.е.

.

Так как очевидно, что два вектора

и всегда лежат в одной плоскости, а все векторы (при различных значениях параметра) , также лежат в одной плоскости (так как это поверхность Каталана), тои все векторы также лежат в этой плоскости. Поэтому поверхность касательных вырождается в плоскость.

Замечание 2.1.

Очевидно, не все косые линейчатые поверхности являются поверхностями Каталана,

Например, Лист Мёбиуса и однополостный гиперболоид – не являются (см. рис. ниже)

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Так как поверхности Каталана являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

поверхности

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

, ,

,

,

,

(5)

. (6)

. (7)

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает удобочитаемого результата).

.

, , .

1. Расчет

.

(8)

2. Расчет M.

.

. (9)

3. Расчет N.

.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Замечание 3.1.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде:

.

Замечание 3.2.

О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как

, то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть

, т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке

, обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке

разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Другими словами в окрестности точки

поверхность лежит по разные стороны от касательной плоскости в заданной точке.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида – гиперболические).

3. Пусть

и . Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

4.

. Такие точки называют точками уплощения поверхности.

Очевидно, что у линейчатых поверхностей могут быть точки уплощения.

Поверхность в окрестности точки уплощения может выглядеть самым разным образом, вот один из примеров…