Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции (стр. 1 из 2)
.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов
, 
, 
можно считать однородным на каждой из сторон. Составляющие указанных векторов Dn, En, Pn, перпендикулярные к границе, называются нормальными, а 
, 
, 
, параллельные границе, - тангенциальными компонентами.На незаряженной границе двух диэлектриков нормальные и тангенциальные компоненты преобразуются следующим образом:
 | (36) |
Левое соотношение получается из теоремы Гаусса, примененной к области в форме очень тонкого параллелепипеда, серединной плоскостью которого является граница раздела диэлектриков. Для получения второго соотношения привлекается теорема о циркуляции
 | (37) |
Контуром служит узкая прямоугольная рамка, плоскость которой перпендикулярна к границе раздела, рассекающей рамку пополам. Левая часть равенства есть
, а правая равна нулю из электростатического уравнения Максвелла ( 
). Эаметим, что теорема о циркуляции - это математический закон, применимый к любому векторному полю, как и теорема Гаусса.  |
Задача. Плоскость xy представляет собой границу раздела диэлектрик с проницаемостью ε1 (z<0) - воздух (z>0). Напряженность электрического поля в воздухе составляет E2, а вектор
составляет угол θ с осью z и не имеет y-компоненты. Найти 
, 
в обеих средах и поверхностный связанный заряд. Вычислить также циркуляцию вектора по прямоугольному контуру длины L, лежащему в плоскости xz.Решение: По условию,
 |
откуда сразу
 |
По правилам преобразования нормальных и тангенциальных компонент,
| Dn1 | = | Dn2 = ε0E2cosθ |
 | = |  |
С учетом общего соотношения
, получаем: | En1 | = |  |
 | = |  |
Теперь можно полностью выписать
в диэлектрике:  |
Поляризованность в воздухе отсутствует, а в диэлектрике:
 | = |  |
| = |  |
При вычислении поверхностного связанного заряда нужна только нормальная компонента, а именно:
 |
Вычисление циркуляции вектора
даст  |
Знак выбирается в зависимости от напрaвления обхода контура. Заметим, что если бы мы считали циркуляцию
, то получили бы ноль. Так как мы знаем с обеих сторон плоскости xy, (в области z<0 
) можно записать окончательный ответ для циркуляции:  |
Проверка выполнения законов преобразования компонент
и на границе служит в некоторых случаях дополнительным "тестом" на корректность того или иного решения.  |
Задача. Часть площади плоского конденсатора заполнена диэлектриком ε1, другая часть ε2. Найти
, в обеих частях конденсатора при приложении напряжения U. Расстояние между обкладками d.Ответ:
всюду; 
и 
в 1-й и 2-й частях, соответственно. Направление полей - всюду перпеидикулярно плоскостям обкладок.Комментарий: граница раздела диэлектриков перпендикулярна обкладкам. По обе стороны этой границы поле параллельно границе и одинаково по величине: нормальная к данной границе составляющая при этом вообще отсутствует. Таким образом, выполнено условие для тангенциальных компонент вектора
.Обобщение данной задачи: пусть в плоском конденсаторе с обкладками x1 и x2, проницаемость изменяется как
. Тогда эквипотенциалями являются плоскости x = const. Плотность заряда обкладки такого конденсатора зависит от координат; cуммарный же заряд равен  | (38) |
Частный случай - ε меняется только в направлении, перпендикулярном полю (например, кусочно). Аналогичную ситуацию можно рассмотреть в сферическом и цилиндрическом конденсаторах (
или 
).Задача. В вакууме на расстоянии l от плоской границы с диэлектриком проницаемости ε расположен небольшой шарик, заряженный зарядом q. Найти поверхностную плотность связанного заряда на границе раздела как функцию расстояния r от проекции центра шарика на плоскость.
 |
Решение Вводим систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна плоскости раздела сред xy. Тогда заряд q имеет координаты (0, 0, z).
Будем искать решение в виде
| φ1 | = |  |
| φ2 | = |  |
Значок 1 отвечает полупространству, в котором находится заряд.
Потенциал указанного вида подчиняется уравнению Пуассона. Действительно, для полупространства без заряда Δφ2 = 0, так как особенность функции φ2(z, r) находится вообще вне этого полупространства. Что касается φ1(z, r), то
, поскольку первый член в точности соответствует потенциалу точечного заряда, а второй дает ноль, так как его особенность не попадает в полупространство содержащее заряд. Заметим, что, если бы полупространство с зарядом было заполнено диэлектриком (ε1), то это ε1 следовало бы поместить в знаменатель первого члена выражения для φ1.Найдем z-компоненту поля, соответствущую введенному потенциалу: