Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 5 из 8)

Применяя формулу обращения, приходим к равенству

20

Подставив это выражение в (2), придём к (1). Действительно,

Теорема доказана.

Упростим формулу для h. Очевидно, что

Так как

.

Аналогичным образом получаем

.

При

имеем

Итак, получаем

(3)

21

В простейшем случае, когда

формула (3) принимает вид

(4)

Проверим это. При всех

имеем

что равносильно требуемому.

В случае

нашу теорему можно переформулировать так: если на основном периоде половина значений спектра с индексами равна нулю, то вектор восстанавливается по половине своих

компонентов

с помощью формулы

где h имеет вид (4).

22

§5.Интерполяционная задача.

Рассмотрим следующую интерполяционную задачу

(1)

В этой задаче требуется построить вектор

, который в узлах принимает заданные значения . Также известно, что старшие коэффициенты Фурье равны нулю.

Решение данной интерполяционной задачи сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Решением задачи (1) является вектор

(2)

Доказательство. Однородная система

согласно формуле (1) из предыдущего параграфа имеет только нулевое решение. Таким образом, задача (1) однозначно разрешима при любых комплексных

Рассмотрим решение этой задачи. Аргумент представим в виде В силу определения и формулы (1) предыдущего параграфа, получим

Теорема доказана.

23

§ 6. Свёртка векторов

Свёрткой векторов

называется вектор с компонентами

(1)

Теорема 1 (о свёртке). Пусть

Тогда

(2)

где справа стоит покомпонентное произведение спектров§, которое определяется следующим образом

Доказательство.

По формуле (2) из § 2 имеем

что соответствует (2). Что требовалось доказать.

Из теоремы 1 как следствие можно получить следующий результат.

Следствие. Справедливо равенство

(3)

Сформулируем свойства свёртки в виде теоремы.

Теорема 2. Свёртка коммутативна и ассоциативна.

Доказательство. Коммутативность

, непосредственно следует из (3). Проверим ассоциативность. Возьмём три вектора и обозначим через их спектры.

24

Учитывая (2) и (3), получаем

Теорема доказана.

Преобразование

называется линейным, если для любых и любых , имеет место равенство

В качестве примера линейного преобразования рассмотрим оператор сдвига

, сопоставляющий вектору вектор с координатами

Преобразование

называется стационарным, если

для всех

Из определения получаем

,

где

- тождественный оператор.

Теорема 3. Преобразование

будет линейным и стационарным тогда и только тогда, когда найдётся вектор , такой, что

при всех (4)

Доказательство.

Необходимость. Учитывая, что

перепишем формулу (1) из § 2 в виде

Так как оператор

линейный и стационарный, то получим

25

Допустив, что

, приходим к равенству

Достаточность. Линейность сверточного оператора очевидна. Остается проверить стационарность. В силу коммутативности свертки

Далее запишем

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим операцию взятия конечной разности

порядка:

Сначала покажем, что

где

Согласно (1) из § 2 имеем