Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 3 из 8)

то

при Отсюда имеем

Таким образом, лемма доказана.

Формула (1) даёт аналитическое представление вектора х по его значениям на основном периоде

9

Рассмотрим следующую систему сдвигов вектора

(2)

Покажем, что эта система линейно независима на Z. Действительно, пусть

при

Как отмечалось, левая часть этого равенства равна

так что при всех

Поэтому согласно лемме 1 любой вектор х разлагается по линейно независимой системе (2). Таким образом, показали, что система (2) является базисом пространства

. При этом размерность пространства равна N, т.е.

Следующее вспомогательное утверждение будем часто использовать в дальнейшем.

Лемма 2. Для любого вектора

при всех справедливо равенство

(3)

Доказательство. Пусть

где - целая часть дроби , а - остаток от деления на . Воспользуемся периодичностью вектора и тем, что Тогда получим

Что и требовалось доказать.

10

Следствие. В условиях леммы 2 справедливо равенство

(4)

Действительно,

Следствие доказано.

Определим в

скалярное произведение и норму

Как и в комплексном унитарном пространстве, в

два вектора x, y называются ортогональными, если Вектор называется нормированным, если ||x||=1.

Лемма 3. При всех

справедливо равенство

(5)

Доказательство. Зафиксируем k и введём вектор

После чего, учитывая чётность и формулу (1), запишем

Что и требовалось доказать.

Следствие. Система векторов (2) является ортонормированной, т. е. образует ортонормированный базис в пространстве

11

Наряду с вектором

будем рассматривать векторы , . Эти

векторы определяются следующим образом, а именно получаем векторы со значениями

соответственно.

Отметим также, что

Введём понятия чётности и нечётности вектора.

Вектор

называется чётным, если и нечётным, если при всех .

Вектор

называется вещественным, если , и чисто мнимым, если

12

§ 3. ДПФ. Основные свойства

Возьмём корень

степени из единицы

Лемма 1. Имеет место равенство

, (1)

Доказательство. Заметим, что в левой части (1) стоит

– периодическая функция.

На самом деле,

при

–периодическим является и Поэтому достаточно проверить равенство (1) при .

При

оно тривиально. Пусть Из формулы для суммы членов геометрической прогрессии имеем

при

Положив

, получим

при .

Равенство доказано.

1.Непрерывное преобразование Фурье и формула обращения.

Функция

, заданная на всей числовой прямой и определяемая формулой

, (2)

называется преобразованием Фурье исходной функции

.

13

Формула, выражающая

через её преобразование Фурье и имеющая вид

, (3)

называется формулой обращения для непрерывного преобразования Фурье.

Следует обратить внимание на сходство между формулами (1) и (2).

Вторая из них отличается от первой лишь знаком в показателе и множителем

перед интегралом.

2.Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Определение.

ДПФ – это отображение

,

сопоставляющее вектору

вектор со значениями

(4)

Вектор X называется спектром Фурье вектора x или просто спектром, а величины X(k) – компонентами спектра или спектральными составляющими соответствующего вектора.