Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 1 из 9)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования Московской области
Московский Государственный Областной Педагогический Институт
Физико-математический факультет.
Курсовая работа
на тему
Применение интегралов
к решению прикладных задач
Выполнил студент
группы 3-М-2
Ширшов Вадим Алексеевич
Проверила
Воробьёва Н.Г.
Орехово-Зуево.
2008
Содержание
Вступление.
1. Определённый интеграл.
1.1 Площадь криволинейной трапеции.
1.2 Объём тела.
1.3 Длина дуги.
1.4 Площадь поверхности вращения.
1.5 Нахождение статического момента и центра тяжести кривой.
1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоской фигуры.
1.7 Механическая работа.
2. Двойной интеграл.
2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области.
2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области.
2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса.
2.4 Механические приложения.
3. Криволинейный интеграл.
3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.
3.2 Приложения к физическим задачам.
4. Поверхностный интеграл.
4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением.
4.2 Площадь поверхности в общем случае.
5.Тройной интеграл.
5.1 Масса тела. Объём.
5.2 Замена переменной в тройном интеграле.
Заключение.
Вступление
Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализа уже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан со школьным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределённые и определённые интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождение площади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всего интегрального исчисления.
интеграл площадь объем статический момент
1. Определённый интеграл
1.1 Площадь криволинейной трапеции
Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.
На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции
(чертёж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой 
, имеющей уравнение 
, где 
- положительная и непрерывная в промежутке 
функция; снизу она ограничена отрезком 
оси 
, а с боков – двумя ординатами 
и 
(каждая из которых может свестись к точке). 
Чертёж 1.
Так как площадь Pрассматриваемой фигуры ABCDсуществует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток
на части, вставив между a и bряд точек 
. Обозначив через 
и 
, соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу) 
, 
.Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому
. Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей 
обе суммы имеют своим пределом интеграл 
, следовательно, ему и равна искомая площадь P= 
. (1)Если криволинейная трапеция CDFEограничена и снизу и сверху кривыми (чертёж 2), уравнения которых
и 
, то, рассматривая её как разность двух фигур 
и 
, получим площадь названной трапеции в виде P= 
. (2)Пусть теперь дан секторAOB (чертёж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая ABзадаётся полярным уравнением
, где 
- положительная непрерывная в промежутке 
функция. 
Чертёж 2. Чертёж 3.
Вставив между
и 
(см. чертёж) значения 
, проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции в 
и , то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут 
и 
. 
В этих суммах
и 
легко узнать суммы Дарбу для интеграла 
; при стремлении к нулю наибольшей из разностей 
обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P) квадрируема и P= 
. (3)Примеры:
1). Определить площадь фигуры, заключённой между двумя конгруэнтными параболами
и 
(чертёж 4).Очевидно, нужно воспользоваться формулой (2), полагая там
, 
. чертёж 4.Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдём абсциссу точки Mпересечения обеих парабол, отличной от начала; она равна 2p. Имеем
.2). Формула (1) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями
, 
. 
. Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что 
при 
и 
при 
): 
. (4)Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления
, 
и учесть, что возрастает от 
до 
, когда 
убывает от 
до нуля, то найдём 
. Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили её.