Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 7 из 9)

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертёж 19):

. Наличие двучлена наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:

, , площадь .

Благодаря симметрии, определим (чертёж 19) площадь части

фигуры, т.е. . Полярное уравнение лемнискаты , , получаем , искомая площадь есть .

2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса

Пусть

непрерывная и положительная функция. Вычислим объём тела, которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – плоской фигурой на плоскости (чертёж 20).

1.Разобьём область

на части: и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков. (чертёж 20)

2. Возьмём

.

3.

, где - площадь .

4. Получили интегральную сумму

.

5.

, где - длина наибольшего диаметра частичной области.

В итоге объём

.

Пример: Найти объём тела, вырезанного цилиндром

из сферы («тело Вивиани») (чертёж 21).

,

где P есть полукруг в первом квадранте плоскости xoy, ограниченный линиями

и . Перейдём к полярным координатам, тогда уравнение контура P будет при .

Таким образом, объём

.

2.4 Механические приложения

Пусть массы непрерывным образом распределены по области (P), причём плотность в точке

пусть будет . Тогда элемент массы , вся масса .

Элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат будут

, ,

, . Отсюда

.

Получим координаты центра тяжести

.

Пусть в пространстве дан брус. Его элементарные статические моменты будут

.

Отсюда координаты центра тяжести

.

Формулы для моментов инерции бруса

относительно оси z и , - относительно плоскостей координат yz, zx:

.

Пример: Найти центр тяжести однородного эллипсоида

, содержащийся в первом октанте (чертёж 22). (чертёж 22)

Область (P) ограничена координатными осями и дугой эллипса

, уравнение эллипсоида в явном виде

. Тогда

. Аналогично , . Объём . Найдем координаты центра тяжести .

3. Криволинейный интеграл

3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов

Запишем сначала формулу Грина:

.

Если функции Pи Q в формуле Грина подобрать так, чтобы

, то двойной интеграл приведётся к площади D.

Если

и , то ,

если

и , то ,

если

и , то . Последняя формула является наиболее употребительной.

Пример: Найти площадь эллипса с полуосями a иb. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса:

, . Тогда .

3.2 Приложения к физическим задачам

Работа силового поля. Пусть в каждой точке M плоскости xyна помещённую в неё единицу массы действует определённая сила

. Данная плоскость называется силовым полем, а сила - напряжением поля. Из рисунка видно , .

Пусть точка M(x,y) движется и описывает некоторую непрерывную кривую (K). Вычислим работу A, которую при этом движении совершают силы поля. В случае прямолинейного движения

, где