Аналитическая геометрия (стр. 7 из 8)

Длина вектора

Длина вектора

определяется выражением

Скалярное произведение (координатная форма)

Угол между векторами

Если φ – угол между векторами

, то

Условие ортогональности векторов

Два вектора

ортогональны при условии равенства нулю их скалярного произведения

Сумма (разность) векторов

3.4 Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов

называется вектор, обозначаемый символом ( или ), который определяется условиями

1.

, где φ – угол между векторами ;

2. вектор

такой, что одновременно;

3. вектор

ориентирован по отношению к сомножителям по правилу буравчика.

Правило буравчика

Вектор

, как результат векторного произведения ориентирован по отношению к сомножителям так же, как координатная ось Oz по отношению к осям Ox и Oy (cм. Рис. 27). Т.е., при вращении от первого сомножителя ко второму буравчик ввинчивается в направлении вектора

.

Рис.27

Условие коллинеарности векторов

Если векторы

коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) т.е. угол между ними или 0, или 180⁰, то их векторное произведение равно нулю

Геометрический смысл векторного произведения

Если векторы

приведены к общему началу (что параллельным переносом возможно сделать всегда, поскольку мы работаем только со свободными векторами), то длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (см.Рис.28).

Рис.28

Свойства векторного произведения

1. Свойство антикоммутативности

2. Свойство ассоциативности по отношению к скалярному множителю λ

4. Распределительное свойство относительно операции сложения

Пример 26 (раскрытие скобок в выражении с векторами)

Раскрыть скобки в выражении

Решение

Пример 27 (вычисление площади параллелограмма)

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и , если

;

;

Решение

Прежде всего, площадь параллелограмма, построенного на векторах

и , определяется как

.

Т.е. найдем векторное произведение векторов c и d, а потом длина полученного вектора численно будет равна искомой площади параллелограмма.

Шаг 1

Ищем векторное произведение, при этом активно используем свойства векторного произведения

Шаг 2

Ищем, собственно площадь

3.5 Векторные произведения ортов

При нахождении векторных произведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

Рис.29

Векторное произведение в координатной форме

Пусть векторы

заданы в координатной форме

Тогда

Вычисляя последний определитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

Пример 28 (площадь треугольника)

Вычислить площадь треугольника, заданного своими вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).

Решение

Идея решения основана на том, что площадь треугольника АВС – это половина площади параллелограмма, а площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС – модуль векторного произведения векторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага

- находим векторы АВ и АС;

- находим векторное произведение найденных векторов;

- находим длину найденного вектора;

- половина найденной длины – искомая площадь.

Шаг 1

«Найти вектор» - это значит найти его координаты:

вектор АВ

Шаг 2

Векторное произведение векторов АВ и АС

При нахождении площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, что наши векторы – свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносом сможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. длину векторного произведения

, т.е., длину вектора

Шаг 4

Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

Ответ

Площадь треугольника АВС равна

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Правой тройкой векторов назовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т.е., для трех векторов

имеют место равенства

Помочь запомнить это поможет рисунок 30

Рис.30

Т.е., вектор

умножаем векторно на вектор - получаем вектор и т.д.