Аналитическая геометрия (стр. 4 из 8)
- если 
то точка М* и начало координат расположены по разные стороны прямой;
- если
, то точка М* и начало координат расположены по одну сторону от прямой.Приведение прямой к нормальному виду (нормализация уравнения прямой)
Для приведения общего уравнения прямой
A∙x + B∙y + C = 0
к нормальному виду используется процедура нормализации:
Шаг 1
Вычисление нормирующего множителя
Правило выбора знака нормирующего множителя:
-знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена в общем уравнении прямой.
Шаг 2
Умножение общего уравнения прямой на нормирующий множитель:
Замечание: после Шага 2 получили нормальное уравнение прямой, т.е. множители при x и y - это значения косинуса и синуса соответственно, а потому они не могут быть больше единицые (по абсолютной величине).
Пример 10 (нахождение длины стороны треугольника)
Треугольник АВС задан своими вершинами А(- 4; 8), В(5; - 4) и С(10; 6) (рис.17). Найти длину стороны АВ.
Рис.17
Решение
Для вычисления длины стороны используем выражение для нахождения расстояния между двумя точками
Ответ: длина стороны треугольника АВС равна 15 ед.
Пример 11 (нахождение уравнения стороны треугольника)
Для треугольника из Примера 10 найти уравнение стороны АВ.
Решение
«Уравнение стороны» - это уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Для его создания используем выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
Тогда
,откуда общее уравнение искомой прямой
.Ответ: уравнение стороны АВ имеет вид
.Пример 12 (нахождение уравнения стороны треугольника)
Для треугольника из Примера 10 найти уравнение стороны АС.
Решение
Рассуждая так же, как и в примере 10.2 получаем, что
откуда общее уравнение искомой прямой
Пример 13 (нахождение угла между прямыми)
Используя данные Примера 10 найти величину внутреннего угла А треугольника АВС.
Решение
Найти величину внутреннего угла А треугольника АВС – это значит найти угол между прямыми АВ и АС, а для этого мы имеем выражение для нахождения угла φ между прямыми
Для нахождения искомой величины нам необходимо представить уравнения прямых АВ и АС в виде уравнений прямой с угловым коэффициентом (имея общее уравнение это всегда можно сделать).
Итак, общее уравнение прямой АВ
;уравнение прямой АС
Откуда, разрешая оба уравнения относительно y, получаем, что
- прямая АВ:
- прямая АС:
Т.о.
Используем приведенный выше результат, получаем ответ
Откуда
Ответ
Угол между прямыми АВ и АС равен
радиан, или 45 градусов.Пример 14 (нахождение уравнения прямой, перпендикулярной данной)
Используя данные Примера 10 найти уравнение высоты СD.
Решение
Как видно из рисунка 17 «найти уравнение высоты СD» означает – найти уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ. Для решения поставленной задачи используем
1) выражение для нахождения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом;
2) условие перпендикулярности двух прямых:
1) y = yС + kCD∙(x – xС);
2) kAB∙kСD = -1 или
.Откуда
Ответ
Уравнение высоты СD имеет вид
Пример 16 (длина высоты)
Используя данные Примера 10 найти длину высоты СD.
Решение
Для решения поставленной задачи существует два метода, рассмотрим оба.
Первый метод решения
Метод состоит из двух шагов:
1) нахождение точки D – точки пересечения прямых CD и АВ;
2) нахождение длины отрезка CD.
Итак,
Шаг 1
т.к. точка D принадлежит одновременно и прямой АВ, и прямой CD ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям прямых, и, следовательно, являются решением системы уравнений
.Решаем полученную систему любым понятным способом, находим, что
Шаг 2
Находим длину отрезка СD
Второй метод решения
Метод основан на замечательном свойстве нормального уравнения прямой: при подстановке в это уравнение координат точки, не принадлежащей прямой, получаем результат по абсолютной величине равный расстоянию от точки до прямой (см. нормальное уравнение прямой).
Метод состоит из двух шагов:
Шаг 1
Приводим уравнение прямой
к нормальному виду:
- вычисляем нормирующий множитель
Т.к. свободный член входит в общее уравнение прямой со знаком «+», у нормирующего множителя выбираем знак минус:
Умножаем на него общее уравнение прямой АВ
Обратите внимание: множители при x и y меньше единицы – это значения синуса и косинуса угла между нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox.
Шаг 2
Подставляем в полученное нормальное уравнение прямой координаты точки С:
Ответ
Ответ тот же: расстояние от точки С до прямой АВ 10 единиц, но второй путь гораздо короче.
2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ниже будут рассмотрены основные линии второго порядка: окружность, эллипс и гипербола; а также задачи, связанные с этими линиями и прямой.
2.1 Окружность
Определение окружности
Окружностью называется плоская линия, каждая из точек которой равноудалена от данной, называемой центром окружность.
Окружность описывается алгебраическим выражением второго порядка
где точка С(a; b) – центр окружности, r – радиус окружности.
Вообще любое выражение вида
x2 + y2 + l∙x + m∙y + n = 0,
определяет окружность, если
l = -2a, m = - 2b, n = a2 + b2 – r2.
При этом, если
- l2 + m2 – 4n = 0, то указанное уравнение определяет точку
;- l2 + m2 – 4n < 0, то указанное уравнение не имеет геометрического смысла, поскольку определяет мнимую окружность.
Пример 17 (координаты центра и радиус окружности)
Найти координаты центра окружности
2∙x2 + 2∙y2 - 8∙x + 5∙y – 4 = 0.
Решение
Для того, что бы множитель при x2 и y2 были равны единице, делим обе части равенства на 2 и перегруппировываем члены выражения
Достроим выражения в фигурных и квадратных скобках до полных квадратов, прибавив к фигурным скобкам 4, а квадратным
(одновременно прибавляя те же величины и справа): 
Ответ
Исходное уравнение определяет окружность с центром в точке
и радиусом 