Аналитическая геометрия (стр. 2 из 8)
Рис.4
Т.к. треугольник М1М2В прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что
,а т.к.
то окончательно получаем, что
Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами
Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)
Рис.5
Где точка 0 – полюс, луч 0А – полярная ось,
- полярный радиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – в нашем случае от направления полярной оси).Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0x (см. Рис.6), то будет понятно – как связаны ПДСК и полярная системы координат.
Рис.6
Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.
Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат
| Выражение декартовых координатчерез полярные | Выражение полярных координатчерез декартовы |
 |  |
 |  |
Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)
Найти расстояние между точками
Решение:
Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.
Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки
,или, координаты точки М в ПДСК -
.Аналогично находим и координаты точки N:
,или, координаты точки N в ПДСК -
.А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что
Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК
Пусть в ПДСК задан произвольный треугольник ABC: А(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), тогда площадь треугольника SABC определяется выражением
Поскольку точки могут быть пронумерованы в произвольном порядке, знак определителя может изменяться. В силу чего существует правило: результат берется по абсолютной величине (по модулю).
Деление отрезка в данном отношении
Прежде всего, о смысле выражения «деление отрезка в данном отношении».
Пусть точка В делит отрезок А1А2 (см. Рис.7)
Рис.7
Тогда
, т.е., если 
, то 
. Но если отрезок «прочитать» по-другому: не А1А2, а А2А1, то 
Откуда важный вывод: при разбиении отрезка в отношении λ, важно как устроена дробь
т.е. важно, в каком направлении читается отрезок: А1А2, или А2А1.
Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении
Пусть точка В(x; y) делит отрезок А1А2 [A1(x1; y1) и A2(x2; y2)] в отношении λ, тогда
.Следствие: если точка В делит отрезок А1А2 пополам, т.е. λ = 1 (почему?), то
.Пример 3 (о нахождении координат точки, делящейотрезок в данном отношении)
Известно, что точки А(- 2; 5) и В(4; 17) – концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Найти координаты точки С(x; y).
Решение:
По условию задачи
, откуда 
.Тогда
,или, окончательно,
Ответ: С(2; 13).
Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)
Треугольник АВС задан координатами вершин: А(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3; y3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.
Рис.8
Решение:
Для нахождения координат точки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбивает отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С,
Уравнение линии
Уравнением данной линии назовем такое уравнение F(x; y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, принадлежащей этой линии, и не принадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяет уравнению – значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение, обращают уравнение в тождество).
Линия
Линия, определяемая данным уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Замечание
Уравнение F(x; y) = 0 показывает также, что величины x и y зависимы: выбор некоторого значения x тут же определяет соответствующее ему значение y.
Пример 5 (о получении уравнения траектории)
Получить уравнение траектории точки М, которая в любой момент движения находится вдвое ближе к точке А(2; 0), чем к точке В(8; 0).
Решение
При выведении уравнения линии (или, что то же самое, уравнения траектории движения точки) прежде всего вводим точку М с «бегущими» координатами x и y (M(x; y) такую, что в любой момент времени точка М: во-первых, принадлежит искомой линии; во-вторых, удовлетворяет условиям сохранения расстояний до фиксированных точек с заданными координатами.
Тогда, по условию задачи
Т.о. траекторией движения точки (искомой линией) является окружность радиуса 4 с центром в точке (0; 0).
Линия, каждая, из точек которой принадлежит некоторой (общей для всех) плоскости называется плоской линией (плоской кривой.
Линия называется алгебраической, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением
F(x; y) = 0,
в котором функция F(x; y) = 0 представлена алгебраическим полиномом, т.е. суммой слагаемых вида akvxkyv, где k и v целые неотрицательные числа, akv – постоянные.
Линия порядка n (линия n-го порядка)
Алгебраическая линия называется линией порядка n, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением, являющимся полиномом порядка n.
Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной (например все тригонометрические функции, функции показательные и т.д.)
1.3 Уравнение прямой на плоскости
Угловой коэффициент
Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)
Рис.9
Напомним правило отсчета углов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительного направления оси Oxпротив часовой стрелки.
С учетом сказанного
k = tg(α),
или, если прямая проходит через точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2)
откуда может быть получено
1.3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть точка M(x; y) принадлежит прямой, а b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (Рис. 10), тогда из определения углового коэффициента получаем (убедитесь самостоятельно) уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = b + k∙x.
