Функція, її границя та неперервність (стр. 3 из 4)

, або .

Наведене означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням „на мові послідовностей”.

Дамо еквівалентне означення границі функції за Коші або означення „на мові

”. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке, що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Користуючись означенням границі функції двох змінних, можна перенести основні теореми про границі для функції однієї змінної на функції двох змінних. Наприклад, правильне таке твердження.

Теорема. Нехай функції

і визначені на одній і тій самій
множині і мають в точці границі і .

Тоді функції

, мають в
точці границі,які відповідно дорівнюють .

Функція

називається нескінченно малою в точці (або при ), якщо .

Якщо функція

має в точці границю, яка дорівнює , то
функція є нескінченно малою в точці _, тому що . Звідси випливає, що функція в околі точки відрізняється від границі на нескінченно малу функцію.

Приклади

Знайти границі:

а)

б)

Розв’язання

а) Якщо

, то , тому

.

б) Умова

еквівалентна умові .

Оскільки

,

То

і, отже,

Означення границі функції

змінних при аналогічне означенням границі при , якщо в -вимірному просторі ввести таке поняття -околу: -околом точки називається множина всіх точок , координати яких задовольняють нерівності

.

Зокрема, у тривимірному просторі

-околом точки є множина всіх внутрішніх точок кулі з центром у точці радіуса .

3. Неперервність функції багатьох змінних

Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою поняття границі.

Нехай функція

визначена на множині , точка і довільний -окіл точки містить точки множини .

Функція

називається неперервною в точці , якщо

.(1)

У випадку функції двох змінних рівність (1) означає, що коли точка

, залишаючись в області визначення функції , наближається до точки , то відповідна апліката поверхні, яка є графіком заданої функції, прямує до аплікати .

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в яких неперервність порушується – точками розриву цієї функції.

Приклад

Неперервність функції

в довільній точці

, крім точки , випливає із неперервності многочлена, синуса, квадратного кореня і умови ; неперервність в точці (0;0) випливає із рівності

(п. 2).

Умові (1) неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо

, , .