Функція, її границя та неперервність (стр. 2 из 4)

Приклад

Знайти лінії рівня функції

.

Розв’язання

Лініями рівня даної функції є кола з радіусом

(рис. 2). Зокрема, якщо , то отримуємо коло .

Рисунок 2 – Лінії рівня функції

Поняття функції двох змінних узагальнимо на випадок трьох і більшого числа незалежних змінних.

Нехай

– деяка множина упорядкованих трійок дійсних чисел, тобто точок

тривимірного простору .

Якщо кожній точці

за певним законом відповідає єдине число

, то кажуть, що на множині

визначено функціюu від трьох змінних

і та записують або .

При цьому змінна

називається залежною змінною (функцією), – незалежними змінними (аргументами), множина – областю визначення функції.

Область визначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякої частини тривимірного простору.

Поверхнею рівня функції

називають множину всіх точок

, для яких задана функція набуває одне й те саме значення : .

Приклади

Областю визначення функції

є куля радіуса

з центром у початку координат. Це замкнена область, оскільки їй належать точки сфери

– межі області.

2. Поверхні рівня функції

визначаються рівнянням

,

· Якщо

, то отримуємо

– конус;

· якщо

, то

– сім’я однопорожнинних гіперболоїдів;

· якщо

, то – сім’я двопорожнинних гіперболоїдів.

Лінії та поверхні рівня досить часто зустрічаються на практиці. Зокрема, ізотерми та ізобари є важливими даними для прогнозу погоди.

Якщо число n незалежних змінних більше трьох, то їх часто позначають однією буквою, але з різними індексами:

.

Функцію u від цих незалежних змінних можна визначити так. Нехай задано множину

упорядкованих систем

з n чисел або, що те саме, множину точок n– вимірного простору .

Якщо кожній точці

за певним законом відповідає єдине число u, то кажуть, що на множині

визначено функцію uвід n змінних: і записують

або , .

Надалі розглядатимемо функції двох змінних, оскільки результати для функцій двох змінних легко за аналогією узагальнити на випадок більшого числа змінних.

2. Границя функції багатьох змінних

функція формула неперервність змінна

Введемо поняття

– околу заданої точки і поняття збіжної послідовності точок площини.

Множина всіх точок

, координати яких задовольняють нерівність

,

де

– відстань від точки до , називається -околом точки .

Розглянемо послідовність точок

, , …, , яку позначимо символом . Послідовність точок називається збіжною до точки , якщо для довільного числа існує номер такий, що при виконується нерівність . При цьому точку називають границею послідовності і записують так:

або при .

Якщо

при , то, очевидно, , при .

Тепер розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі функції однієї змінної. Нехай функція

задана в деякій області і точка або , але має таку властивість, що в довільному -околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини , відмінна від _. Число називається границею функції в точці , якщо для довільної, збіжної до послідовності точок , відповідна послідовність значень функції збігається до числа . При цьому пишуть: