Похідні та диференціали функції багатьох змінних (стр. 3 из 4)

. (4)

Аналогічна формула має місце для диференційовної функції трьох змінних

:

. (5)

З формул (4) і (5) може здатися, що повний диференціал

існуватиме у кожній точці, в якій існують частинні похідні. Але це не так. Згідно з означенням, повний диференціал можна розглядати лише стосовно диференційовної функції.

Теореми та формули для диференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються і для диференціалів функцій двох, трьох і т.д. змінних . Так, незалежно від того, від яких аргументів залежать функції u і

, завжди справедливі рівності

Покажемо, що різниця між повним приростом

і диференціалом при і є нескінченно мала величина вищого порядку, ніж величина .

Дійсно, з формул (1) і (3) маємо

,

оскільки функції

– нескінченно малі при , , а та – обмежені функції:

.

Отже, різниця

– нескінченно мала величина вищого порядку, ніж . Тому повний диференціал називають також головною частиною повного приросту диференційовної функції. При цьому виконується наближена рівність або

. (6)

Ця рівність тим точніша, чим менша величина

. Рівність (6) широко використовується у наближених обчисленнях, оскільки диференціал функції обчислюється простіше, ніж повний приріст.

Покажемо, як за допомогою диференціала можна оцінити похибку в обчисленнях.

Нехай задана диференційовна функція

, незалежні змінні якої виміряні з точністю . Потрібно знайти похибку, з якою обчислюється u.

Природно вважати, що ця похибка дорівнює величині

.

Для малих значень

маємо

,

звідки

.

Якщо через

позначити максимальну абсолютну похибку змінної , то можна отримати значення максимальної абсолютної похибки функції :

. (7)

Щоб оцінити максимальну відносну похибку функції u, поділимо обидві частини рівності (7) на

:

.

Оскільки

, то

,

або

,

тобто максимальна відносна похибка функції дорівнює максимальній абсолютній похибці її логарифма.

Введемо поняття диференціала вищого порядку.

Нехай

функція незалежних змінних , . Повний диференціал цієї функції, знайдений за формулою (3), називають ще диференціалом
першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою

.

Тоді, якщо функція

має неперервні частинні похідні, то

,

звідки

. (8)

Символічно це записують так:

.

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

.

Застосовуючи метод математичної індукції, можна отримати формулу для диференціала n-го порядку:

. (9)

Зазначимо, що формула (9) справедлива лише для випадку, коли змінні x і

функції є незалежними змінними.

4 Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала

Нехай

– функція двох змінних та , кожна з яких, у свою чергу, є функцією незалежної змінної :

тоді функція

є складеною функцією змінної .

Теорема. Якщо функції

диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція також диференційовна в точці . Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (10)

Доведення

За умовою теореми

,

де

та при , .

Поділимо

на і перейдемо до границі при :

Аналогічно знаходять похідну, якщо число проміжних змінних більше двох. Наприклад, якщо

, де , то

. (11)

Зокрема, якщо

, а , то