Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных (стр. 2 из 4)
где
- среднее значение соответствующего интервала 
; 
- частость интервала 
Вычисление числовых характеристик статистического ряда сведем в таблицу 3.
Таблица 3. Числовые характеристики
| Номер интервала | Середина интервала Xi | Частость Pi | XiPi | (Xi-m)^2 | (Xi-m)^2*Pi |
| 1 | -8,006 | 0,04 | -0,3202 | 31,48691 | 1,2595 |
| 2 | -6,698 | 0,03 | -0,2009 | 18,51856 | 0,5556 |
| 3 | -5,39 | 0,04 | -0,2156 | 8,97194 | 0,3589 |
| 4 | -4,082 | 0,20 | -0,8164 | 2,84705 | 0,5694 |
| 5 | -2,774 | 0,26 | -0,7212 | 0,14388 | 0,0374 |
| 6 | -1,466 | 0,18 | -0,2639 | 0,86245 | 0,1552 |
| 7 | -0,158 | 0,14 | -0,0221 | 5,00274 | 0,7004 |
| 8 | 1,15 | 0,09 | 0,1035 | 12,56476 | 1,1308 |
| 9 | 2,458 | 0,01 | 0,0246 | 23,54850 | 0,2355 |
| 10 | 3,766 | 0,01 | 0,0377 | 37,95398 | 0,3795 |
Статистическое математическое ожидание  | -2,3947 | ||||
Статистическая дисперсия  | 5,3822 | ||||
Статистическое среднее квадратическое отклонение  | 2,3200 | ||||
определяет положение центра группировки наблюдаемых значений случайной величины. 
, 
характеризуют рассеяние наблюдаемых значений случайной величины вокруг Выравнивание (сглаживание) статистического ряда и статистической функции распределения с помощью нормального закона
Выравнивание статистического ряда
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности. Однако при очень большом числе наблюдений эти случайности сглаживаются, и случайные явления обнаруживают присущую ему закономерность.
При обработке статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую. Эта теоретическая кривая распределения должна выражать существенные черты статистического распределения – эта задача называется задачей сглаживания или выравнивания статистического ряда.
Иногда общий вид распределения случайной величины Х вытекает из самой природы этой случайной величины.
Пусть случайная величина Х – это результат измерения некоторой физической величины прибора.
Х = точное значение физической величины + ошибка прибора.
Случайная ошибка прибора при измерении имеет суммарную природу и распределена по нормальному закону. Следовательно такое же распределение имеет случайная величина Х, т.е. нормальное распределение с плотностью вероятности:
, где 
, 
, 
.Параметры
и 
определяются так, чтобы числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим числовым характеристикам статистического распределения. При нормальном распределении полагают, что 
, 
, 
, , тогда функция нормального распределения примет вид: 
Вычисления сведем в таблицу 4.
Таблица 4. Выравнивающая кривая
| Номер интервала | Середина интервала Xi |  | Табулированная функция  | Нормальная кривая  |
| 1 | -8,0060 | -2,4187 | 0,0214 | 0,0092 |
| 2 | -6,6980 | -1,8549 | 0,0714 | 0,0308 |
| 3 | -5,3900 | -1,2911 | 0,1734 | 0,0747 |
| 4 | -4,0820 | -0,7273 | 0,3062 | 0,1320 |
| 5 | -2,7740 | -0,1635 | 0,3936 | 0,1697 |
| m | -2,3947 | 0 | 0,3989 | 0,1720 |
| 6 | -1,4660 | 0,4003 | 0,3682 | 0,1587 |
| 7 | -0,1580 | 0,9641 | 0,2507 | 0,1080 |
| 8 | 1,1500 | 1,5279 | 0,1242 | 0,0535 |
| 9 | 2,4580 | 2,0917 | 0,0448 | 0,0193 |
| 10 | 3,7660 | 2,6555 | 0,0117 | 0,0051 |
Теоретическую нормальную кривую строим по точкам
на одном графике с гистограммой статистического ряда (Ошибка! Источник ссылки не найден.). 
Рисунок 3
Выравнивание статистической функции распределения 
Статистическую функцию распределения
выравниваем функцией распределения нормального закона: 
, где 
, 
, 
- функция Лапласа.Вычисления сведем в таблицу 5.
Таблица 5. Функция распределения
| Номер интервала | Середина интервала Xi | | Функция Лапласа  | Функция распределения  |
| 1 | -8,0060 | -2,4187 | -0,4922 | 0,0078 |
| 2 | -6,6980 | -1,8549 | -0,4682 | 0,0318 |
| 3 | -5,3900 | -1,2911 | -0,4017 | 0,0983 |
| 4 | -4,0820 | -0,7273 | -0,2665 | 0,2335 |
| 5 | -2,7740 | -0,1635 | -0,0649 | 0,4351 |
| m | -2,3947 | 0 | 0 | 0,5000 |
| 6 | -1,4660 | 0,4003 | 0,1555 | 0,6555 |
| 7 | -0,1580 | 0,9641 | 0,3325 | 0,8325 |
| 8 | 1,1500 | 1,5279 | 0,4367 | 0,9367 |
| 9 | 2,4580 | 2,0917 | 0,4818 | 0,9818 |
| 10 | 3,7660 | 2,6555 | 0,4960 | 0,9960 |
Строим график теоретической функции распределения по точкам
вместе с графиком статистической функции распределения. 
Рисунок 4.
Точечные и интервальные оценки параметров распределения
Точечные оценки числовых характеристик случайной величины
Пусть изучается случайная величина Х с математическим ожиданием
и дисперсией , оба параметра неизвестны.Пусть х1, х2, х3, …, хn– выборка, полученная в результате проведения nнезависимых наблюдений случайной величины Х. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин х1, х2, х3, …, хnперепишем их в виде:
Х1, Х2, Х3, …, Хn, где Хi– значение случайной величины Х в i-ом опыте.
Требуется на основании этих опытных данных оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Такие оценки называются точечными, в качестве оценки mи Dможно принять статистическое математическое ожидание
и статистическую дисперсию , где