Інтерполювання функцій (стр. 7 из 9)
(1. 7. 2)Нехай
- деяка функція із відомими значеннями у вузлах 
, а 
- довільна фіксована точка. За означенням розділеної різниці першого порядку (1. 7. 1) маємо: 
звідки 
(1. 7. 3)Для розділеної різниці другого порядку по точкам
записуємо представлення: 
наслідком якого являється вираз 
Підставляючи його у формулу (1. 7. 2), приходимо до рівності 
Формально, на основі рекурентного відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна записати формулу, яка описує своєрідне розкладання
по добуткам різниць 
, коефіцієнтами якого являються розділені різниці різних порядків: 
(1. 7. 4)Якщо
- многочлен степені п, то процес подібного розкладання вичерпується. Розкладання буде складатись з п+1 доданка, і всі вони будуть мати конкретні коефіцієнти, так як остання, яка містить , розділена різниця в (1. 7. 4), тобто 
має (п+1)-ий порядок і, значить, дорівнює нулю. Таким чином, для довільного многочленна степені п справедлива тотожність 
Припустимо, що цей многочлен
являється інтерполяційним для деякої функції 
. Тоді у всіх вузлах він повинен мати однакові з нею значення, а отже повинні бути однаковими і їх розділені різниці. Звідси приходимо до інтерполяційної формули Ньютона для нерівновіддалених вузлів: 
Підставивши
замість у формулу (1. 7. 4), з урахуванням (1. 7. 5) отримуємо точну рівність 
другий доданок якої може розглядатись в якості залишкового члена, тобто
, (1. 7. 6)де
.Так як для обчислення різниці
необхідно знання значення 
поряд з відомими значеннями 
, представлений формулою (1. 7. 5) вираз 
фактично можна використовувати тільки для оцінювання похибки інтерполювання за формулою (1. 7. 5) через максимальні величини модулів розділених різниць (п+1)-го порядку або для одержання інших виразів залишкового члена при тих чи інших припущеннях про дану функцію. Зокрема, якщо функція має (п+1)-шу похідну, то залишковий член (1. 7. 6) може бути приведений до вигляду 
.При практичному використання інтерполяційної формули (1. 7. 5) доводиться покладатися на зменшення модулів доданків
при збільшенні номера доданка. Таке зменшення відбувається до деяких пір; потім починається зростання їх модулів із-за впливу похибок заокруглення.1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул
1.8.1 Приклад 1
Використовуючи першу і другу інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції
, заданої таблицею (табл. 1) при значенні аргументу 
. При цьому крок 
.Таблиця 1. Значення функції
| xi | yi |
| 1,50 | 15,132 |
| 1,55 | 17,422 |
| 1,60 | 20,393 |
| 1,65 | 23,994 |
| 1,70 | 28,160 |
| 1,75 | 32,812 |
| 1,80 | 37,857 |
Розв’язання:
Складемо спочатку таблицю кінцевих різниць (табл. 2).
Таблиця 2. Кінцеві різниці
При складанні таблиці різниць обмежимося різницями третього порядку, оскільки вони практично постійні.
· За першою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 7), приймаючи
, 
(табл. 2), отримаємо: 
; 
; 
· За другою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 11), приймаючи
, 
(табл. 2), отримаємо: 
; 
; 
· За першою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 4), приймаючи
, , матимемо: 
.Отже, отримаємо:
· За другою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 6), приймаючи
, , отримаємо: 
; 
· За інтерполяційною формулою Стірлінга, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) у формулу (1. 5. 1) отримаємо:
· За інтерполяційною формулою Бесселя, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) в формулу (1. 4. 3) отримаємо:
Тепер проведемо оцінку отриманих результатів. Введемо наступні позначення:
ІФН – інтерполяційна формула Ньютона;
ІФГ - інтерполяційна формула Гауса;
ІФБ - інтерполяційна формула Бесселя;
ІФС - інтерполяційна формула Стірлінга.
Для зручності результати запишемо у вигляді таблиці (табл. 3):
| ІФН 1-ша | ІФН 2-га | ІФГ 1-ша | ІФГ 2-га | ІФБ | ІФС |
| 20,7930 | 20,7929 | 20,7931 | 20,79486 | 20,5784 | 20,7930 |
Таблиця 3. Отримані результати.
Тепер визначимо похибку отриманих результатів. Для цього від значення, отриманого за допомогою першої ІФН, віднімемо результати, отримані зі допомогою інших формул. В результаті отримаємо таку розрахункову табличку (табл. 4):
| ІФН 2-га | ІФГ 1-ша | ІФГ 2-га | ІФБ | ІФС |
| 0,00015 | 0,00013 | 0,00186 | 0,21457 | 0,00001 |
Таблиця 4. Абсолютні похибки результатів.
Тоді, щоб отримати відносну похибку результату, необхідно абсолютні похибки поділити на відповідні отримані наближені значення
, отримані за формулами (1. 2. 7), (1. 2. 11), (1. 3. 4), (1. 3. 6), (1. 4. 3), (1. 5. 1). Тобто маємо (табл. 5):