Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному

не вище п, по-друге,

і

Замітимо, що при

формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції

. Дійсно,

Крім того, очевидно,

. Звідси при

формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора:

.
Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну

за формулою

; тоді

підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:

, (1. 2. 7)
де

являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки

, виходячи із точки

. Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.
Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення

, де

мале за абсолютною величиною.
Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання:

. При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання

.
Якщо дана необмежена таблиця значень

, то число

в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число

обирають так, щоб різниця

була постійною із заданою точністю. За початкове значення

можна приймати довільне табличне значення аргументу

.
Якщо таблиця значень функції скінчена, то

- число обмежене, а саме:

не може бути більше числа значень функції

, зменшеного на одиницю.
Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.
1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.
Нехай маємо систему значень функції

для рівновіддалених значень аргументу

, де

- крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:

або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:

. (1. 2. 8)
Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів

таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб

(1. 2. 9)
Покладемо

у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати:

, отже

.
Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку

.
Звідси, вважаючи

і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:

. Отже

.
Покладаючи

знаходимо:

. І таким чином

.
Характер закономірності коефіцієнтів

достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що

(1. 2. 10)
Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно

(1. 2. 11)
Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.
Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай

, тоді

і т. д.
Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:

.(1.2.12)
Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції

вважають, що

.
Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції

для значень аргументів

, котрі лежать за межами таблиці. Якщо

і

близько до

, то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді

. Якщо ж

і

близько до

, то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді

. Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).
Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова.
1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона
Для функції

ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона

, який приймає в точках

задані значення

. Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції

в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член

. Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію

додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни

:

, котра містить вузли інтерполювання, функція

маєвсі похідні

до (п+1)-го порядку включаючи.