Інтерполювання функцій (стр. 2 из 9)

В даній курсовій роботі розглядаються інтерполяційні поліноми.

Відомо, що будь-яка неперервна на відрізку

функція може бути добре наближена деяким поліномом (див. [1], c.50):

Теорема Вейерштрасса: Для будь-якого

існує поліном степеня , такий, що .

Отже, будемо шукати інтерполяційний поліном в вигляді:

, (1. 1. 2)

де

- невизначені коефіцієнти. Покладемо , тоді отримаємо систему лінійних рівнянь:

Визначник даної системи являється відмінним від нуля визначником Вандермонда (див. [9]):

.

Звідси випливає, що інтерполяційний поліном (1. 1. 2) існує і він єдиний, хоча форм його запису існує багато.

В якості базису

ми взяли базис із одночленів . Для обчислень більш зручним являється базис поліномів Лагранжа степеня п або коефіцієнтів Лагранжа:

Неважко побачити, що поліном степені п

задовольняє цим умовам. Полином

, очевидно, визначається єдиним способом. Дійсно, нехай існує ще один поліном , тоді їх різниця є поліном степені п, який перетворюється в нуль в п+1 точках . Це можливо тільки при .

Поліном

приймає значення в точці і рівний нулю у всіх останніх вузлах при . Звідси випливає, що інтерполяційний поліном:

(1. 1. 3)

має степінь не вище п і

. Формулу (1. 1. 3) називають формулою Лагранжа. Число арифметичних дій для обчислення по (1. 1. 3) пропорційно . Для оцінки близькості полінома до функції покладають, що існує п+1– ша неперервна похідна . Тоді має місце формула для похибки

.

При оцінці похибки результатів повинні враховуватись як похибки методу інтерполяції (залишковий член), так і похибка округлення при обчисленнях.

1.2 Інтерполяційні формули Ньютона

Часто інтерполювання ведеться для функцій, заданих таблицями з рівновіддаленими значеннями аргументу (тобто такими, що будь-який

(вузол інтерполяції) можна представити у вигляді - деяка постійна величина, яка називається кроком інтерполяції). Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул, а також проведення обчислень по ним значно спрощується.

Для побудови формули Ньютона необхідно ввести поняття кінцевих різниць.

Кінцевими різницями називають різниці між значеннями функції в сусідніх вузлах (точках

) інтерполяції:

де

Отримані кінцеві різниці будемо називати кінцевими різницями першого порядку. З різниць першого порядку отримаємо різниці другого порядку:

де

.

Повторюючи процедуру, отримаємо кінцеві різниці третього порядку:

Для кінцевих різниць

-го порядку:

В результаті отримаємо таблицю кінцевих різниць: