2) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним проверку |f(c)|
ε → |0,013| 0.001 – нетНайдем интервал, в котором находится корень:
f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+) = (+)
Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.
Принимаем a= c = 0,55
В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,6]
3) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним проверку |f(c)|
ε → |-0,013| 0.001 – нетНайдем интервал, в котором находится корень:
f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–) = (–)
Смена знака произошла, следовательно, корень находится на левой половине интервала изоляции корня.
Принимаем b= c = 0,575
В ачестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,575]
4) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним проверку |f(c)|
ε → |0,000| 0,001 – да.Необходимое условие достигается на четвёртом приближении, где х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.4 Уточнение корней методом Ньютона
За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:
Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:
1) За начальное приближение к корню принимаем значение х0, равное 0,6
Вычислим первое приближение:
Погрешность вычисления:
Приближенное значение корня х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.5 Уточнение корней методом простых итераций
Приведем уравнение к каноническому виду.
За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:
Примем за нулевое приближение неизвестных значение
Выполним первую итерацию
Найдем значение
Выполним проверку:
|x1-x0| = |0,5484 – 0,4| = 0,1484 < 0,001 – нет
Выполним вторую итерацию
Найдем значение
Выполним проверку:
|x2-x1| = |0,5612 -0,5484| = 0,0128
0,001 – нетВыполним третью итерацию
Найдем значение
Выполним проверку:
|x3-x2| = |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015
0,001 – нетВыполним четвёртую итерацию
Найдем значение
Выполним проверку:
|x1-x0| = |0,5629 – 0,5627| = 0,0002
0,001 – даПриближенное значение корня х = 0,5629
4. Численные методы вычисления определенных интегралов
4.1 Исходные данные
Интеграл | Шаг | Точность |
0,001 |
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения xi, где i = 0,1,2..n.
0 0,4142 0,0985 0,5345 0,1989 0,6682 0,3033 0,8207 1Результаты сведены в таблицу:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
x | 0 | ||||||||
f(x) | 0 | 0,0985 | 0,1989 | 0,3033 | 0,4142 | 0,5345 | 0,6682 | 0,8207 | 1 |
4.2 Вычислим интеграл методом левых прямоугольников
Iлп = h·[f(x0) + f(x1) + f(x2) + … + f(xn-1)] =
·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1491Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1491| = 0,0239
= 0,001 – нет.4.3 Вычислим интеграл методом правых прямоугольников
Iпп = h·[f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xn)] =
·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1] = 0,1982Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1982| = 0,0252
= 0,001 – нет.4.4 Вычислим интеграл методом центральных прямоугольников
Вычислим значения подынтегральной функции в центре каждого выделенного интервала:
0,0491 0,4730 0,1483 0,5994 0,2505 0,7416