Численные методы анализа (стр. 3 из 5)

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁵⁾-x₁⁽⁴⁾| = |-0,431+0,430| = 0,001

ε – да,

|x₂⁽⁵⁾-x₂⁽⁴⁾| = |0,598–0,598| = 0,000

ε – да,

|x₃⁽⁵⁾-x₃⁽⁴⁾| = |0,269–0,269| = 0,000

ε – да,

|x₄⁽⁵⁾-x₄⁽⁴⁾| = |0,327–0,327| = 0,000

ε – да.

Необходимая точность достигается в пятой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.

2. Численные методы аппроксимации и интерполяции функций

2.1 Задание

Найти интерполяционный полином второго порядка

методом неопределённых коэффициентов, используя данные нулевого, второго и четвёртого опытов.

Найти аппроксимирующий полином первого порядка

методом наименьших квадратов.

Исходные данные

0 1 2 3 4

xi	0,1	0,3	0,5	0,8	1
yi	0,3	0,55	0,65	0,4	0,25

2.2 Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов реализуется подстановкой полинома

в систему:

где 0, 2, 4 номера заданных точек.

Подставим значения неизвестных из таблицы в систему:

(2.1.1.)

Решим полученную систему методом Гаусса.

(2.1.2.)

Прямой ход

Все уравнения системы являются нормированными, поэтому сразу вычтем из второго и третьего уравнения первое, чтобы исключить из системы а₀.

(2.1.3.)

(2.1.4.)

В итоге получаем систему уравнений:

(2.1.5.)

Рассмотрим систему (2.1.5.) без первого уравнения.

(2.1.6.)

Нормируем первое уравнение системы (2.1.6.):

(2.1.7.)

Умножим уравнение (2.1.7) на коэффициент при а₁ второго уравнения системы (2.1.6.):

(2.1.8.)

Вычтем полученное уравнение (2.1.8.) из второго уравнения системы (2.1.6.), чтобы исключить из системы а_1:

(2.1.9.)

В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений

(2.1.10.)

Нормируем последнее уравнение системы (2.1.10.)

(2.1.11.)

Получим систему, приведенную к треугольному виду.

(2.1.12.)

Обратный ход

а₂ = -1,861;

а₁ = 0,875–0,6·(-1,861) = 1,992;

а₀ = 0,3–0,01·(-1,861) – 0,1·1,992= 0,119

В итоге мы получаем интерполяционный полином второго порядка:

у =

= -1,861 х²+1,992 х+0,119

Построим график интерполяционного полинома. Для этого вычислим его значения в определенных точках.

xi	0,2	0,3	0,4	0,6	0,7	0,8	0,9
yi	0,44	0,55	0,62	0,64	0,60	0,52	0,40

2.3 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов реализуется с помощью, так называемой системы нормальных уравнений, имеющих матричный вид:

= 2,7

= 1,99

= 2,15

Выполним умножение матриц. Система нормальных уравнений примет вид:

(2.2.1)

Решим систему методом Гаусса.

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы (2.2.1)

(2.2.2)

Умножим полученное уравнение (2.2.2) на коэффициент при а₀ во втором уравнении

(2.2.3)

Вычтем уравнение (2.2.3) из второго уравнения системы (2.2.1), чтобы исключить а₀ из системы.

(2.2.4)

0,532а₁ = -0,071

Получим новую систему уравнений:

(2.2.5)

Нормируем второе уравнение системы (2.2.5)

(2.2.6)

В результате получим систему линейных уравнений треугольного вида.

(2.2.7)

Обратный ход:

а₁ = -0,133

а₀ = 0,43–0,54·(-0,133) = 0,502

Решив полученную систему, мы получили коэффициенты аппроксимирующего полинома первого порядка.

Полином будет иметь вид:

y = -0,133х+0,502

3. Численные методы решений нелинейных уравнений.

3.1 Исходные данные

Уравнение	Отрезок	Шаг
	[0; 1]	0,2

3.2 Отделение корней

Определим корни уравнения

на отрезке [0; 1] с шагом 0,2

Подставим в функцию значение х, равное 0:

Подставим в функцию значение х, равное 0,2:

Подставим в функцию значение х, равное 0,4:

Подставим в функцию значение х, равное 0,6:

Подставим в функцию значение х, равное 0,8:

Подставим в функцию значение х, равное 1:

Из анализа полученных данных следует, что функция меняет знак на интервале [0,4; 0,6], следовательно, этот частичный интервал является интервалом изоляции корня, то есть на этом интервале существует корень, и при том единственный.

3.3 Уточнение корней методом половинного деления

Уточним корни уравнения с точностью ε

0,001

1) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)|

ε → |0,066| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,4)∙ f (0,5) = (+)∙(+) = (+)

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем а = c = 0,5

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,5; 0,6]