Элементы общей топологии (стр. 8 из 9)
2.3 Ориентируемые и неориентируемые поверхности
2.3.1 Определение ориентируемых и неориентируемых поверхностей
Обобщим понятие триангуляции поверхности многоугольниками на поверхность с краем. Клеточное разбиение Т поверхности F с краем ¶F называется триангуляцией F, если в Т граница каждой двумерной клетки tiÎT состоит из трёх различных одномерных клеток разбиения Т. При этом концы каждой одномерной клетки gÎT лежат в двух различных одномерных клетках разбиения Т. В этом случае, нульмерные клетки триангуляции Т называются её вершинами, одномерные клетки – рёбрами, а двумерные клетки с границами – топологическими треугольниками (ниже термин «топологический» часто опускается).
То, что каждая поверхность с краем может быть триангулирована, доказал Тибор Радо. Отметим, что доказательство этого результата существенно опирается на наличие счётного базиса на поверхности. Без этого условия триангулируемости может и не быть – построены соответствующие примеры.
Пусть g – ребро триангуляции Т поверхности с краем F с концами в точках А и В. Ориентацией ребра g называется порядок в паре его вершин. Ребро g имеет две ориентации (А, В) и (В, А). Их называют противоположными. Ребро g называется ориентированным, если выбрана одна из двух его ориентаций.
Рассмотрим теперь топологический треугольник tÎ Т с вершинами А, В и С. Ориентацией (или обходом) треугольника t называется порядок в тройке его вершин, причём ориентации считаются одинаковыми (эквивалентными), если они получаются друг из друга в результате циклической перестановки:
(А, В, С) ~ (В, С, А) ~ (С, А, В) и (С, В, А) ~ (В, А, С) ~ (А, С, В). Итак, треугольник tимеет две ориентации.
Определение 1. Треугольник называется ориентированным, если выбрана его ориентация.
Ориентация треугольника t порождает (индуцирует) ориентацию каждой из его сторон следующим образом: надо взять тот порядок его вершин из эквивалентных друг другу порядков, где обе вершины выбранной стороны стоят на первых двух местах, и отбросить третью вершину – оставшиеся две упорядоченные точки определяют ориентацию стороны, индуцированную ориентацией треугольника.
Определение 2. Говорят, что два ориентированных соседних треугольника в Т имеют согласованные ориентации, если на общей стороне они индуцируют противоположные ориентации.
метрический пространство топологический замкнутый
Определение 3. Поверхность с краем F называется ориентируемой, если существует такая ее триангуляция Т, все треугольники которой можно ориентировать так, что ориентации любых двух соседних треугольников согласованы.
Если такой ориентации не существует, то поверхность с краем называется неориентируемой.
Замечание. Можно доказать, что понятие ориентируемости поверхности не зависит от выбранной конкретной триангуляции и является топологическим инвариантом.
К числу поверхностей Fс краем мы причисляем и поверхности без края, считая ¶F = Æ.
Пример 1. Евклидова плоскость Е2 и сфера S2 ориентируемы.
Действительно, это легко показать, непосредственно выполнив триангуляцию и выбрав согласованные ориентации.
Пример 2. Лист Мёбиуса – неориентирован.
Разобьем прямоугольник АВСД на три треугольника и непосредственно убеждаемся в несогласованности этих треугольников разбиения.
Пример 3. Бутылка Клейна – неориентирована.
Если в квадрате U2 = {(x, y)| 0£x£ 1, 0£y£ 1} считать эквивалентными точки вида (х, 0) и (1-х, 1), а также точки (0, у) и (1, у), то поверхность, склеенная из U2 по этому отношению эквивалентности, является неориентируемой замкнутой поверхностью, которая называется «бутылкой Клейна».
Мы отмечали ранее, что лист Мёбиуса дает нам, разумеется, наглядное описание односторонней поверхности с помощью «окрашивания». Однако, такое возможно лишь для «толстой поверхности», изготовленной из некоторого материала. Математическая поверхность не имеет толщины.
Поэтому подойдем к этому вопросу несколько иначе. В каждой точке a листа Мебиуса проведем два противоположных вектора, перпендикулярные к нему в этой точке. Эти векторы называются нормалями к листу Мебиуса в точке a.
Выберем одну из них и начнем перемещать точку a вместе с нормалью по ленте Мебиуса. Когда точка a обойдет всю ленту Мебиуса, то перемещающаяся нормаль при этом перейдет не в свое первоначальное положение, а в противоположное.
Итак, на ленте Мебиуса существует такой замкнутый путь (обход), что при прохождении этого пути нормаль к поверхности приходит в положение, противоположное первоначальному. Поверхности, обладающие такими обходами, и называются односторонними.
Однако, говоря о нормалях, мы изучаем не только саму поверхность, но и ее расположение в пространстве. Поэтому приведем «внутреннее» определение односторонних поверхностей. Условимся вокруг точки a, из которой проведена нормаль, описывать небольшую окружность и на ней отмечать стрелкой направление, которое из конца проведенной нормали наблюдается как направление против часовой стрелки. Если точка a перемещается, то вместе с ней перемещается и нормаль, а также окружность с имеющимся на ней направлением. Когда мы обведем окружность по всей ленте Мебиуса, направление изменится на противоположное (так как нормаль изменит свое направление).
Итак, на ленте Мебиуса имеется такой замкнутый путь (обход), что при перемещении окружности вдоль этого пути направление на окружности меняется на противоположное. Такие обходы называют обращающими ориентацию.
Если на поверхности нет обращающих ориентацию обходов, то она называется ориентируемой (или двусторонней), если есть - неориентируемой (или односторонней). С наглядной точки зрения ориентируемость означает, что всю поверхность можно покрыть маленькими окружностями и выбрать на них такие направления, что близкие окружности будут ориентированы одинаково.
2.3.2 Классификация замкнутых поверхностей
Мы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологической классификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом и французским математиком Жорданом.
Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые не имеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость, например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу.
Задача топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужно перечислить все топологически различные замкнутые поверхности.
Теорема 1. Обозначим через P0 сферу, а через Pk сферу с k ручками. Тогда поверхности
P0, P1, P2, …, Pk,… (1)
дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей.
Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с самопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можно попытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной в некоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мы получим ленту Мебиуса.
Пусть теперь ℓ- контур круглой дыры на некоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓ и обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца.
Тогда получится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждые диаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса. Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезание поверхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можно было и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые две диаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметрально противоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыру ленту Мебиуса.
Теперь мы можем сформулировать вторую половину теоремы Мебиуса-Жордана о классификации поверхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типов замкнутых неориентируемых поверхностей.
Теорема 2. Обозначим через Nq поверхность, получающуюся из сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности
N1, N2, …, Nq, … (2)
дают полную топологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей.
Заключение
Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма непросто. Известный французский математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры, выразив этим, во-первых, необычное изящество и красоту топологии и, во-вторых, то, что вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры. А за последнее время топология все более проникает в физику, химию, биологию. Однако проникновение в волшебный мир топологи затруднительно. Подобно тому, как строительные леса, окружающие недостроенное здание, мешают охватить взглядом красоту архитектурного замысла, так многочисленные и утомительные детали построения, заполняющие книги по топологии, затрудняют охватить мысленным взором красивое здание этой математической науки. Даже многие специалисты – математики нередко отступают перед трудностями на пути овладения топологией. Для того чтобы в полной мере оценить задачи, которые решаются этой научной дисциплиной, необходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов математики.