Элементы общей топологии (стр. 6 из 9)
g: У ®Z
являются топологическими, то и их композиция g×
: Х ®Z– также топологическое отображение.Действительно, композиция биекций является биекцией. Произведение непрерывных отображений является непрерывным отображением. Обратным к g×
: Х®Zотображением является отображение(g×
) -1 = -1×g-1.Так как отображения
: Х ® У,g: У ®Z
являются топологическими, то обратные к ним отображения
-1: У ® Х,g-1: Z® У
являются непрерывными.
Поэтому и их композиция
-1×g-1 – непрерывное отображение, а следовательно, и отображение (g× )-1 непрерывное.Свойство доказано.
Свойство 3. Если
: Х ® У – гомеоморфизм, то и -1: У ® Х – гомеоморфизм.Доказательство. Действительно, так как
: Х ® У – гомеоморфизм, то – биекция. Поэтому обратное к нему отображение -1 также биекция. При этом, согласно условию -1 – непрерывно. Учитывая, что(
-1) -1 = ,имеем: отображение
--1 – гомеоморфизм.Свойство доказано.
Определение 2. Говорят, что топологическое пространство Х гомеоморфно топологическому пространству У, если существует гомеоморфизм
: Х ® У.Учитывая выполнимость перечисленных выше свойств гомеоморфизма, получим, что отношение гомеоморфности топологических пространств является отношением эквивалентности.
Про гомеоморфные пространства также говорят, что они топологически эквивалентны. Обозначаем:
Х
У.Кроме того, мы одновременно показали, что (с учётом ассоциативности произведения топологических отображений) множество всех гомеоморфизмов пространства на себя по умножению есть группа.
В связи с этим свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, называются топологическими, а топология изучает свойства фигур, инвариантные относительно гомеоморфных отображений топологических пространств.
Таким образом, топология изучает геометрию группы всех гомеоморфизмов пространства на себя.
1.3.3 Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов
Пример 1. Задана числовая прямая с естественной топологией. Доказать, что любые два интервала (
, b) и (c, d) гомеоморфные.Действительно, гомеоморфизм между ними устанавливается, например, линейной функцией
у =
(х – ) + с,где
х Î (
, b), а у Î (с, d).Пример 2. Задано трехмерное евклидово пространство с топологией, порожденной метрикой. Доказать, что сфера гомеоморфна поверхности куба.
Для того, чтобы установить гомеоморфизм между ними, достаточно поместить их центры в одну точку и произвести из неё центральное проектирование.
Пример 3. Задана числовая прямая с естественной топологией. Доказать, что интервал и прямая гомеоморфные. Гомеоморфизм между ними можно установить следующей функцией:
у = tg
хÎ Х = (а, b),
у Î У = R.
Теорема. Пусть
: Х ® У – непрерывное взаимно – однозначное отображение и (Х) = У. Тогда, если Х – компактно, а У – хаусдорфово пространство, то – гомеоморфизм.2. Топологические свойства поверхностей
2.1 Понятие двумерного многообразия
2.1.1 Определение двумерного многообразия
Важнейшим для геометрии классом топологических пространств являются двумерные многообразия.
Определение 1. Двумерным многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу.
Локально у двумерных многообразий те же топологические свойства, что и у евклидовой плоскости.
В топологии под термином «поверхность» понимают именно двумерное многообразие. Поэтому в дальнейшее мы не будем различать эти два понятия.
Примерами поверхностей являются любая область на евклидовой плоскости, сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды в евклидовом пространстве с естественной топологией.
В дальнейшем мы часто будем встречать поверхность, которую называют тором. Поэтому определим ее следующим образом.
Определение 2. Тором в пространстве Е3 называется множество точек, образованное вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и не пересекающейся с этой окружностью.
Компактные поверхности называют замкнутыми поверхностями. Например, сфера, тор – замкнутые поверхности, а параболоиды и гиперболоиды не являются замкнутыми поверхностями.
Определение 3. Двумерным многообразием с краем или поверхностью с краем называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу или полукругу вместе с диаметром.
Те точки поверхности с краем, у которых есть окрестность гомеоморфная открытому кругу, называются внутренними точками поверхности, а те ее точки, которые имеют окрестности, гомеоморфные полукругу вместе с диаметром, называются краевыми точками.
В дальнейшем будем считать, что для данной поверхности внутренняя ее точка одновременно не может быть ее краевой точкой.
Множество внутренних точек любой поверхности F с краем открыто в F и само является поверхностью. Поэтому множество точек края в F замкнуто и его обозначают ¶F. Отметим, что ¶F является границей в F множества внутренних точек. Каждая поверхность является частным случаем поверхности с краем, край которой пуст.
Если край ¶F поверхности с краем F не пуст, то он имеет простое строение: каждая его компонента гомеоморфна либо окружности, либо прямой. В частности, когда F компактна, то ее край состоит из конечного числа компонент, каждая из которых гомеоморфна окружности. Так, край кольца – это две окружности, край боковой поверхности цилиндра – также две окружности.
В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с процессом построения новых поверхностей, который называют операцией склеивания. Эта операция заключается в следующем. Берутся две поверхности с краем F¢ и F¢¢, и на их краях ¶F¢ и ¶F¢¢ выделяются некоторые гомеоморфные между собой части g¢ и g¢¢.
Соответствующие при данном гомеоморфизме точки Х¢Îg¢ и
X¢¢Îg¢¢ отождествляются, т.е. считаются за одну точку Х. Одновременно склеиваются и их окрестности. При этом получается новая поверхность с краем, склеенная из поверхностей F¢ и F¢¢.
Например, многогранную поверхность можно считать склеенной из ее граней, а поверхность цилиндра вращения – склеенной из ее боковой поверхности и двух оснований. Склеивать можно и отдельные части края одной и той же поверхности с краем. Например, таким склеиванием получается поверхность, которую называют листом Мебиуса.
2.1.2 Примеры поверхностей, полученных склеиванием
Пример 1. Лист Мебиуса, как пример поверхности с краем был описан в 1862 - 1865 годах в работах немецких математиков Мебиуса и Листинга. Поверхность получается следующим образом. Лента прямоугольной формы один раз перекручивается, и затем ее концы склеиваются.
Полученная поверхность с краем имеет лишь одну сторону. Например, перемещая кисточку по ленте Мебиуса, мы придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мы закрасим всю ленту Мебиуса и убедимся, что у нее нет «второй стороны».
