Элементы общей топологии (стр. 4 из 9)
Пусть в топологическом пространстве (Х, Ф) дана последовательность точек х1, х2, …, хn, … точка х0 называется пределом этой последовательности, если для любой окрестности Ux0 точки х0 найдётся такой номер n0, что для всех n>n0 точки хnÎUx0.
При этом последовательность точек {хn} называется сходящейся к точке х0.
Теорема 4. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) сходящаяся последовательность точек {хn} имеет единственный предел.
Пример 1. В силу теоремы 2 § 1 любое топологическое пространство, топология которого порождена метрикой, является хаусдорфовым пространством.
Пример 2. Двуточечное топологическое пространство
Х =
, Ф = {Æ, Х, 
}не является хаусдорфовым пространством.
Действительно, рассмотрим точки
и 
. Для них нет непересекающихся окрестностей, так как окрестностью точки является сама точка или все Х, а окрестностью точки будет только Х.Очевидно,
Ç Х = и предложение доказано.1.2.4 Компактность топологических пространств
Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {Аa} открытых множеств Аa называется открытым покрытием множества Н, если
Н Ì
.Подпокрытие покрытия U – это такое подсемейство семейства U, которое само является покрытием для Н.
Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение 3. Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).
Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.
Теорема 1. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.
Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество FÌX – замкнуто, то F – компактно.
Доказательство. Пусть U – произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).
Тогда система {U, (X \ F)} – открытое покрытие Х.
Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.
Обозначим его U1. Если U1 содержит X \ F, то удалив из U1 множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для F. Если U1 не содержит X \ F, то U1 и является конечным покрытием F.
В силу теоремы 1 множество F – компактно.
Теорема доказана.
Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.
В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î В непересекающиеся окрестности множества А – Uxи точки х – Vx и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями Vx конечное покрытие
.Множества
и 
будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.
Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.
Теорема 5. Подмножество в пространстве R3 компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.
Пример. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е3, Фr) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.
Доказательство. Пусть Н = {х1, х2, …, хn} и {Ga}aÎА – произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка хi принадлежит хотя бы одному из множеств Ga. Обозначим G1 одно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее х1. Затем обозначим G2 одно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее х2 и так далее, для точки хnобозначим Gnодно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее хn.
Получили конечный набор открытых множеств G1, G2, …, Gn являющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.
1.2.5 Связность топологических пространств
Определение 1. Топологическое пространство (Х, Ф) называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества U и V таких, что UÈV = Х и UÇV = Æ.
Другими словами топологическое пространство (Х, Ф) может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих между собой общих точек.
Топологическое пространство (Х, Ф) называется связным, если не существует такого разбиения.
Пример. Х= (
, b), (X, Ф) – связное топологическое пространство, если Ф = {Æ, Х, } и, если Ф = {Æ, Х, , b} – то это пример несвязного топологического пространства.Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества Uи V, UÇV= Æ, то U = CxV и V = CxU.
Поэтому U и V – замкнутые множества.
Отсюда получаем необходимые и достаточные условия.
Теорема 1. Топологическое пространство (X, Ф) будет связным тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытым и замкнутым множеством являются лишь само пространство или пустое множество.
Определение 2. Множество М в топологическом пространстве называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии, то есть связно определяемое им подпространство.
Другими словами, множество М в топологическом пространстве Х называется связным, если нельзя найти двух открытых в Х множеств G1 и G2 таких, что
1. (G1Ç М) È (G2Ç М) = М.
2. (G1Ç М) Ç (G2Ç М) = Æ.
3. G1Ç М ¹Æ, G2Ç М ¹Æ.
Теорема 2. В топологическом пространстве (Х, Ф) замыкание связного множества – связно.
Теорема 3. Если А и В два открытых множества в (Х, Ф), причем
А Ç В = Æ
и непустое связное множество
HÌAÈB,
то HÌA, или HÌ В.
Теорема 4. Пусть {
} – совокупность связных подмножеств в пространстве (Х, Ф), имеющих общую точку. Тогда множество H = 
также будет связным в (Х, Ф).Теорема 5. Компоненты двух различных точек либо не пересекаются, либо совпадают.
Теперь мы можем говорить просто о компонентах пространства, на которые они распадаются.
Теорема 6. Компонента топологического пространства (Х, Ф) является замкнутым множеством.
Доказательство. Пусть Н – компонента топологического пространства (Х, Ф), и
– некоторая ее точка.Очевидно
Н Ì
,В силу теоремы 2 множество
– связно и так как Î , то Ì Н.Поэтому
= Н.Замечание. Пусть топологическое пространство (Х, Ф) – несвязное, то есть существуют два непустых открытых множества U и V таких, что
UÈV = Х
и
UÇV = Æ.
Если при этом различные точки х и у принадлежат одной компоненте, то {x, y} ÌUили {x, y} ÌV.
Это утверждение вытекает из теоремы 3.
Определение 3. Областью называется непустое связное открытое множество топологического пространства.
Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.
Пример. Пусть Х – множество действительных чисел с топологией
. Доказать, что любое подмножество 
связно.