Элементы общей топологии (стр. 3 из 9)

Определение 4. Точка с называется граничной для множеств H, если в любой окрестности точки с имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H.

Множество всех граничных точек множества H обозначается через

Hи называется границей H.

Очевидно:

int H È ext H È

H = X

int H Ç ext H = ext H Ç

H = int Ç H = Æ

int H = ext C_x H, ext H = int C_x H

H = C_xH

Определение 5. Точка

называется точкой прикосновения множества H, если каждая окрестность точки имеет с H хотя бы одну общую точку.

Множество всех точек прикосновения множества H называется замыканием множества H и обозначается

. Ясно, что = intHÈ H и является замкнутым множеством.

Определение 6. Точка

ÎH называется изолированной точкой множества H, если существует окрестность U точки , такая, что

UÇH = {}

Определение 7. Если

Î и не является изолированной для H, то она называется предельной точкой множества H.

Ясно, что в каждой окрестности предельной точки

ÎH существуют точки множества H, отличные от .

Поскольку замыкание распадается на множество изолированных и предельных точек, а первое всегда содержится в H, то приходим к следующему утверждению:

Теорема 3. Множество H замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, то есть, если

H =

Действительно, если H – замкнуто, то CH = X \ H открыто. Поэтому CH = extH.

Отсюда получаем

H = intHÈ ∂ H =

.

Теорема 4. Если замкнутое множество F содержит множество H, то F содержит и

.

Доказательство. Так как HÌF, то все предельные точки H будут являться предельными и для F, а поэтому они принадлежат F, следовательно

ÌF.

Следствие. Замыкание множеств H есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих H.

Действительно, согласно теореме 5

принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему H, а по теореме 3 - замкнутое множество.

Определение 8. Множество H называется всюду плотным в топологическом пространстве (Х, Ф), если

= X.

Множество А называется нигде не плотным в пространстве (Х, Ф), если дополнение к замыканию А всюду плотно в Х, то есть

= Х

1.2.3 Базис и отделимость топологического пространства

Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство, и пусть G^* ={G

} – некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве. Если любое открытое множество в (Х, Ф) представимо в виде объединения некоторых множеств G^*, то G^* называется базисом топологического пространства (Х, Ф) или базой.

Теорема 1. Для того, чтобы семейство G^* ={G

}ÌF было базисом топологического пространства (Х, Ф) необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Î Х и любой её окрестности U_a существовало множество G_a

ÎG^* такое, что ÎG_a

и G_a

ÌU_a.

Теорема 2. Для того, чтобы семейство подмножеств G^* = {G

} было базисом некоторого топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов U_,VÎG^* и каждой точки хÎUÇVсуществовал такой элемент WÎG^*, что х ÎWи WÌUÇV. При этом ÆÎG^* и G = X.

Доказательство. 1. Пусть G^* – база. Тогда, так как UÇV – открытое множество, то согласно теореме 1 существует W такое, что WÎG^* и х ÎWÌUÇV.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть G^* – семейство с выделенными нами специальными свойствами. В-семейство всевозможных объединений элементов из G^*. Покажем, что В-топология. Ясно, что объединение любой совокупности элементов из В является объединением элементов из G^*, а, следовательно, принадлежит В.

Пересечение любых двух элементов Uи V из В также принадлежит В.

Действительно, если х₀ÎUÇV, то существует U¢ÎG^* и V¢ÎG^* такие, что U^¢ÌU, V¢ÌVи х₀ÎU¢ÇV¢. Тогда по условию существует

WÎG^*, для которого

х₀ÎWÌU¢ÇV¢ÌUÇV.

Но, тогда

UÇV =

Î В.

Кроме того,

Х =

G Î В.

Итак, В-топология, а G^* её базис.

Теорема доказана.

Из предыдущих теорем следует, что не всякое семейство G^* может служить базой топологии. Возникает вопрос: можно ли по произвольному семейству {G_i} множеств определить некоторую топологию? Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющимся объединением всех элементов {G_i}, каждый элемент из {G_i} должен быть открыт в этой топологии.

Кроме того, возникает вопрос: существует ли наименьшая топология на Х, содержащая {G_i}? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть G^* = {G_i} – произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^* образует базу некоторой топологии на множестве Х =

G_i.

Доказательство. Обозначим В-семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^*. Тогда пересечение любых двух элементов из В снова является элементом В. В силу теоремы 2 получим, что В-база некоторой топологии.

Теорема доказана.

У пространств, топология которых обладает счетной базой, есть много хороших свойств.

Примеры. 1. В любом топологическом пространстве (Х, Ф) множество Ф – база (очевидно).

2. (R,

), – топология, заданная метрикой.

G^* = {Æ, всевозможные интервалы}– база.

3. (Х. Ф) дискретная топология.

G^* = {Æ} È{{х}| х Î Х}– база.

Аксиома отделимости

Наличие хороших свойств пространства зависит от возможности отделить одну точку от другой с помощью окрестностей этих точек.

Поэтому, обычно, рассматривают такие топологические пространства, которые удовлетворяют дополнительным условиям, например, так называемым аксиомам отделимости.

Аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности.

Топологические пространства, в которых выполняется аксиома Хаусдорфа, называют хаусдорфовыми пространствами.

Нетрудно доказать, что любое подпространство хаусдорфова пространства, содержащее не менее двух различных точек, также является хаусдорфовым пространством.

В любом топологическом пространстве можно рассмотреть сходящуюся последовательность точек.

Однако, понятие предела удобно лишь там, где сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Оказывается, аксиома 2 является необходимым и достаточным условием единственности предела сходящейся последовательности.